Содержание
Знание — сила. Познавательная информация
Выколотая точка или закрашенная?
Эта ассоциация поможет легко запомнить, выколотая точка или закрашенная на числовой прямой.
Сравните неравенства, при которых точка заштрихована: x≥a или x≤b и неравенства, в которых точка выколотая: x>a, x или Светлана Иванова, 27 Сен 2012
Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:
— это неравенство вида которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:
В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство это объединение классического уравнения и строгого неравенства Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю.
Отрезки и интервалы: в чем разница?
Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:
- — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Но эти точки не принадлежат интервалу. Интервал обозначается круглыми скобками: и т.д.;
- — это тоже часть прямой, ограниченная двумя точками. Однако эти точки тоже являются частью отрезка. Отрезки обозначаются квадратными скобками: и т.д.
Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок — закрашенными. Например:
На этом рисунке отмечен отрезок и интервал Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки — круглые.
Метод интервалов для нестрогих неравенств
К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками — и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравните два неравенства:
Задача. Решите строгое неравенство:
Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:
( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;
Отмечаем полученные корни на координатной оси:
Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:
f ( x ) = ( x − 5)( x + 3)
Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:
Задача. Решите нестрогое неравенство:
Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:
( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;
Отмечаем полученные корни на координатной оси:
В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:
f ( x ) = ( x − 5)( x + 3)
Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:
Итак, основное отличие строгих и нестрогих неравенств:
- В строгих неравенствах нас не интересуют концы отрезка, поэтому они отмечаются выколотыми точками. Такие точки никогда не входят в ответ, о чем говорят круглые скобки на первом ответе: x ∈ (−∞; −3) ∪ (5; +∞);
- И наоборот, в нестрогих неравенствах концы отрезка входят в ответ. На графике они отмечаются закрашенными точками, а в ответе указываются квадратными скобками: x ∈ (−∞; −3] ∪ [5; +∞).
Вот и вся разница! Просто запомните: в строгих неравенствах точки выколоты, а в нестрогих — закрашены.
Почему бесконечности всегда стоят в круглых скобках
У внимательного читателя наверняка возник вопрос: почему бесконечности отмечаются круглыми скобками даже в нестрогих неравенствах? Например, почему в последней задаче мы пишем
Что ж, это не опечатка. Бесконечность действительно обозначается круглой скобкой, даже если неравенство — нестрогое. Чтобы понять, почему так происходит, достаточно вспомнить определение бесконечности.
— это гипотетическое число, которое больше любого другого числа, участвующего в решении.
Трудность заключается в том, что нельзя работать с бесконечностью напрямую. Мы можем лишь приблизиться к ней, подставляя такие зверские числа, как 1 000 000 и даже 1 000 000 000. Но добраться до самой бесконечности все равно нельзя.
Именно поэтому бесконечность обозначают круглыми скобками. Ведь хотя бесконечность и ограничивает всю числовую прямую, сама она не принадлежит этой прямой.
Ситуация такая же, как с границами интервалов. Рассмотрим все числа из интервала:
Эта запись означает, что число не принадлежит интервалу, однако любое число, которое больше нуля и меньше единицы — принадлежит. В частности, этому интервалу принадлежат следующие числа:
Попробуем отметить эти числа на координатной прямой. Поскольку каждое следующее число вдвое меньше предыдущего, нам придется несколько раз менять масштаб. Получим вроде этого:
Что дает нам этот график? Оказывается, при достаточно крупном масштабе можно отметить любое число, сколь угодно близкое к нулю. При этом сам ноль никуда не денется — он остается недостижимой границей. Именно это и подразумевается, когда речь заходит о концах интервала.
То же самое происходит и с бесконечностью. Разница лишь в том, что масштаб надо не увеличивать, а уменьшать:
Мы можем сколь угодно долго идти к бесконечности, но так и не достигнем ее. Вот почему бесконечности обозначают круглыми скобками, подобно границам интервала.
Примеры решения неравенств
В заключение кратко разберем два нестрогих неравенства. И если в первой задаче еще есть пояснения, то вторая задача будет оформлена именно так, как и надо оформлять настоящее решение.
Как обычно, приравниваем все к нулю:
( x + 8)( x − 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = −8;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Теперь рассматриваем функцию, которая находится в левой части неравенства:
f ( x ) = ( x + 8)( x − 3)
Подставим в эту функцию бесконечность — получим выражение вида:
Чертим координатную ось, отмечаем корни и расставляем знаки:
Поскольку мы решаем неравенство или, что то же самое, осталось записать ответ:
x (12 − 2 x )(3 x + 9) ≥ 0
x (12 − 2 x )(3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3.
x ≥ 6 ⇒ f ( x ) = x (12 − 2 x )(3 x + 9) → (+) · (−) · (+) = (−) x ∈ (−∞ −3] ∪ [0; 6].
Решение неравенств
Метод интервалов
Перенос знаков
Выбор точек
Система и совокупность
Точка знакопостоянства
Что нельзя делать в неравенстве, даже под пытками:
1) Домножать на знаменатель.
2) Умножать/делить на отрицательное число, не меняя знак.
3) Убирать бездумно логарифм или основание.
Начнем с простого:
Линейные уравнения решаются обычным переносом. Икс в одной части оставим, а числа перенесем в другую:
А само значение −4 нам подходит?
Нет, поэтому ставим круглые скобочки ()
Разберемся со скобками:
Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки нестрогие ( ≥, ≤ ), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>,
Если же возьмем пример, где придется делить или умножать на отрицательное число, то знак поменяется:
Ответ: x ∈ ( 0; +oo).
Следующий пример уже с дробью:
Приравняем числитель к нулю и скажем, что знаменатель не равен нулю:
к.ч. (корни числителя)
к.з. (корни знаменателя)
Расставляем корни числителя и знаменателя на одной прямой (сколько решаем неравенств, столько же чертим прямых). Попробуем подставить х = 0, чтобы определить знаки:
Там, где «0» (перед двойкой), ставим знак «−», а дальше знаки чередуем:
Из-за того, что знаком неравенства был «≥», нам подходят промежутки со знаком «+» и закрашенная точка:
Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки (≥, ≤), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>,
Данный пример можно решить по-другому. Подумаем, когда дробь больше нуля? Конечно, когда числитель и знаменатель — положительные значения или когда оба отрицательные. Поэтому данное неравенство можно разбить на две системы в совокупности:
Отметим на прямой решение каждого неравенства.
Решением совокупности «[» является тот участок, который включен хотя бы в одно неравенство.
Мой любимый пример:
Покажу мастер-класс, как делать не надо. Дома не повторять!
А теперь через метод интервалов разберемся, как сделать правильно:
Там, где ноль, ставим знак «−», рисуем прямую и отмечаем корни каждой скобки. А дальше чередуем:
В данном неравенстве знак меньше, поэтому записываем в ответ промежуток, где знак «−».
Перейдем к квадратному уравнению:
Разложим на множители и подставим x = 10, чтобы определить знак:
Нам требуются положительные значения:
Второй способ разложить на множители:
Ответ: x ∈ (−oo; −1) ∪ (5; +oo).
А теперь простой, но крайне показательный пример:
Убирать квадрат ни в коем случае нельзя. Простенький контрпример:
Надеюсь, убедил. Вместо знака больше поставим знак равно и попробуем решить методом интервалов:
Если корень повторяется четное количество раз, то в этой точке знак меняться не будет. Отмечать будем такую точку восклицательным знаком (а внутри него ±, чуть ниже объясню, зачем это).
В данном неравенстве знак больше, тогда отметим те промежутки, где стоит знак «+».
Только точка «0» не подходит, 0 > 0 — неверно!
Ответ: x ∈ R <0>или x ∈ ( − oo; 0) ∪ (0; +oo).
Переходим на новый уровень:
Все говорят, что домножать на знаменатель нельзя, а я говорю, что буду! (joke)
По методу координат найдем корни числителя и знаменателя:
Отметим все корни на одной прямой (сколько неравенств, столько же и прямых). Ноль — корень четной кратности, над ним рисуем восклицательный знак! Если это корень числителя, то точка будет закрашена, если знаменателя — выколота (на ноль делить нельзя).
Требуется найти промежутки, где выражение больше или равно нулю. Нам подойдут все «промежутки», где знак плюс. Для этого подставим значение x = 1 и с промежутка [0; 3] начнем расставлять знаки. Там же находится единица.
Вот для чего ставят в восклицательном знаке ±: чтобы не потерять отдельные точки, в данном случае 0.
Ответ: (−oo; − 6) ∪ <0>∪ [ 3; +oo).
По той же схеме корни числителя и знаменателя:
Определим знак при x = 10 и расставим знаки с промежутка, где присутствует 10:
Все точки от − 2 закрашены, значит эти промежутки можно объединить в один.
Точка x = 3 встречается 3 раза (2 раза в числителе и 1 раз в знаменателе), знак через нее меняться будет! А также эта точка будет выколота, проверь это, подставив в уравнение x = 3. На ноль же делить нельзя?
Подставим x = 10 и расставим знаки:
Ответ: [ −oo; −5) ∪ [ 3; 5).
Все скользкие моменты разобрали, стало понятнее?
- Если знак строгий (>, <), все точки выколотые (в круглые скобки).
- Если знак нестрогий (≥, ≤), корни числителя закрашенные, точки знаменателя выколотые [в квадратные скобки].
- Если корень является решением уравнения четное кол-во раз (2, 4, 6, 8), то в этой точке знак меняться не будет.
- Отдельная точка записывается <в фигурных скобках>.
Группа с полезной информацией и легким математическим юмором.