Запишите следующие сложные высказывания в символической форме

правила составления логических выражений

Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль . Ее символическое обозначение – латинская буква (например, A , B , X , Y и т.д.). Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА ( 1 ) и ЛОЖЬ ( 0 ). На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания .

Логическая функция – составное высказывание, которое содержит несколько простых мыслей , соединенных между собой с помощью логических операций.

Ее символическое обозначение – F ( A , B , …) .

Логические операции – логическое действие.

1. Проанализируем составное высказывание " Если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог " .

Обозначим буквой A высказывание: " Купить яблоки " , буквой B – высказывание: " Купить абрикосы " , буквой C – высказывание: " Испечь пирог " .

2. Запишем высказывание в виде логического выражения , высказывание " Если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог " формализуется в виде формулы: F= (A v B)=>C .

Записывать в виде логического выражения следующее высказывание: « Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку ».

1. Проанализируем составное высказывание . Оно состоит из следующих простых высказываний: « Петя поедет в деревню », « Будет хорошая погода », « Петя пойдет на рыбалку ». Обозначим их через логические переменные:

А = Петя поедет в деревню;

В = Будет хорошая погода;

С = Петя пойдет на рыбалку.

2. Запишем высказывание в виде логического выражения , учитывая порядок действий. Если необходимо, расставим скобки: F=A&(B=>C) .

Есть два простых высказывания: А – « Число 10 – четное »; В – « Волк – травоядное животное ». Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность.

Запишите следующие высказывания в виде логических выражений.

1. Число 17 нечетное и двузначное.

2. Неверно, что корова – хищное животное.

3. На уроке физики ученики выполняли лабораторную работу и сообщали результаты исследований учителю.

4. Если число делится на 2, то оно – четное.

5. Переходи улицу только на зеленый свет.

6. Если Маша – сестра Саши, то Саша- брат Маши.

7. Если компьютер включен, то можно на нем работать.

8. Водительские права можно получить, только когда исполнится 18 лет.

9. Компьютер выполняет вычисления, если он включен.

10. Ты можешь купить в магазине продукты, если у тебя есть деньги.

11. Тише едешь – дальше будешь.

12*. На уроке информатики необходимо соблюдать особые правила поведения.

13*. При замерзании воды выделяется тепло.

Составьте и запишите истинные сложные высказывания из простых с использованием логических операций.

1. Неверно, что 10> Y > 5 и Z .
2. Z является min ( Z , Y ).
3. А является max ( A , B , C ).
4. Любое из чисел X , Y , Z положительно.
5. Любое из чисел P , T , R отрицательно.
6. Хотя бы одно из чисел K , L , M не отрицательно.
7. Хотя бы одно из чисел X , Y , Z не меньше 12.
8. Все числа A , B , C равны 12.
9. Если X делится на 9, то X делится и на 3.
10. Если X делится на 2, то оно четное.

Найдите значения логических выражений:

F 1 = (0 v 0) v ( 1 v 1 ).

F 2 = ( 1 v 1 ) v ( 1 v 0 ).

F 4 = ¬ 1 & (1 v 1) v ( ¬ 0&1).

F 5 = ( ¬ 1 v 1) & (1 v ¬ 1) & ( ¬ 1 v 0).

Даны высказывания: А – " Петя едет в автобусе ", В – " Петя читает книгу ", С – " Петя смотрит в окно ".

Составить формулы алгебры логики сложных высказываний:

1) "Неверно, что Петя едет в автобусе и читает книгу".

2) "Неверно, что Петя едет в автобусе, читает книгу или смотрит в окно".

3) "Петя не едет в автобусе, но при этом читает книгу или не смотрит в окно".

4) "Петя не едет в автобусе, не смотрит в окно – он читает книгу".

a) Запишите в виде формулы алгебры логики высказывание: "Если Алеша решит задачу, то Володя решит ее; если же Алеша не решит задачу, то об успехе Володи ничего определенного сказать нельзя – он может решить, а может не решить".

b) Запишите в виде формулы алгебры логики высказывание: "Если Ваня и Алеша проголосуют "за", то Сережа поступит так же. В случае противоположного мнения у Вани и Алеши о мнении Сережи ничего определенного сказать нельзя".

Уровень знания: выучить основные определения, знать обозначения.

Задача 1 : Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические связки «И», «ИЛИ». Запишите логические высказывания с помощью логических операций и определите их истинность.

а) Андрей старше Светы. Наташа старше Светы.

б) Один десятый класс идет на экскурсию в музей. Второй десятый класс идет в театр.

в) На полке стоят учебники. На полке стоят справочники.

г) Часть детей — девочки. Остальные – мальчики.

Задача 2 : Для логических выражений сформулируйте составные высказывания на обычном языке:

Задача 3 : Какое логическое выражение соответствует высказыванию: « Точка X принадлежит интервалу (А; В) ».

Задача 4: Запишите на языке алгебры логики следующие высказывания:

а) Я поеду в Киев и если встречу там друзей, то мы интересно проведем время.

б) Если я поеду в Киев и встречу там друзей, то мы интересно проведем время.

в) Неверно, что если погода пасмурная, то идет дождь тогда и только тогда, когда нет ветра.

Задача 5* : приведите примеры составных высказываний из приведенных ниже школьных предметов и запишите их с помощью логических операций: биология, литература, география, математика, информатика, история, русский язык.

1. Установить, какие из следующих предложений являются, а ка­кие не являются высказываниями:

1). Всякая общественно-экономическая формация имеет своей основой способ производства материальных благ. 2). Был ли Наполеон французским императором? 3). Наполеон никогда не был французским императором. 4). Водители, не нарушайте правила дорожного движения! 5). Цена товара X меньше его стоимости.

2. Установить вид высказываний по характеру предиката:

1). Все кошки – млекопитающие.

2). Некоторые множества бесконечны.

3). Спрос рождает предложение.

4). Верста больше километра.

5). Сравнение – это мысленная операция.

6). Каждый человек моложе своих родителей.

7). Этот человек не имеет чувства юмора.

8) Солнце – звезда.

9). Атлантида не существует.

10). Существует любовь.

11). Минск древнее Могилева.

12). Иван уважает Алексея.

3. Установить количество и качество следующих высказываний:

1). Наукообразное преподнесение лжи гипнотически действует на доверчивого человека.

2). В любой библиотеке есть книги, к которым обращаются очень редко.

3). Многие выдающиеся математики не приняли неевклидовой геометрии.

4. Привести следующие высказывания к одной из четырех форм
и выразить в символическом виде:

1). Некоторые проблемы человеческой истории до сих пор не решены.

2). Каждый кулик свое болото хвалит.

3). Ни один ученый не мыслит формулами (А. Эйнштейн).

5. Установить распределенность терминов в следующих выска­зываниях:

1). В первобытном обществе не существовало никакой власти, которая была бы обособлена от общества и как бы стояла над ним.

2). Должностные лица наделены особыми полномочиями совер­шать от имени государства те или иные властные действия.

3). Никакая поддержка террористических банд не может быть оправдана.

4). Некоторая часть преобразующей деятельности человека нега­тивно изменяет условия развития естественных систем.

5). 70 % всего мирового грузооборота перевозится морским пу­тем.

6). Только талантливый оратор не говорит заученными фразами.

7). Ни один человек не должен страдать за правду.

8). Ни один человек не живет два века.

9). Незаконная сделка является недействительной.

10). Юность планеты хочет видеть мир свободным от насилия и войн.

11). Маршал Жуков – выдающийся полководец второй мировой войны.

12). Деньги есть условный эквивалент товара.

6. Образовать высказывания всех форм (А, Е, J, О) из следующих пар:

1). Русский князь (S); сторонник централизованной власти (Р).

2). Моральная норма (S); правовая норма (Р).

3). Русский феодал (S); сторонник преобразований Петра I (P). 4). Иван (S); брат Марьи (Р).

7. Выяснить, в значении каких логических союзов употребляют­ся грамматические союзы в следующих предложениях. Записать в символической форме.

1). Хоть редко, да метко.

2). «Почтенный старец этот постоянно был сердит или выпивши, или выпивши и сердит вместе» (А.И. Герцен).

3). «Храбрец или сидит в седле, или тихо спит в сырой земле» (Р. Гамзатов).

4). Движение яхты было возможно лишь тогда, когда дул ветер.

5). «Стоило отцу заикнуться о плате, как капитан с яростью при­нимался сопеть» (Р. Стивенсон).

6). Атеросклероз чаще всего поражает жителей больших городов и людей умственного труда.

8. Записать следующие сложные высказывания в символической форме:

1). Фемистокл знал каждого жителя Афин в лицо и по имени.

2). Каждый из нас знает книгу или хотя бы имя Альфреда Брема.

3). Неверно, что он готовился к уроку и решит эту задачу. – 4). Неверно, что он готовился к уроку, однако он решит эту задачу.

5). Неверно, что ветер дует, если и только если нет дождя.

6). Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямоли­нейного движения, если только оно не вынуждено изменить это со­стояние под влиянием действующих сил.

9. Дано истинное высказывание Р. Можно ли установить логиче­ское значение Q в высказывании (Q v Р) -> Р?

10. Пользуясь значениями логических союзов, решить следую­щую задачу.

В деле об убийствах имеются двое подозреваемых – Петр и Павел. Допросили четырех свидетелей, которые последовательно дали такие показания: «Петр не виноват», «Павел не виноват», «Из двух первых показаний по меньшей мере одно истинно», «Показания третьего ложны». Четвертый свидетель оказался прав. Кто преступник?

11. Построить таблицу истинности высказывания (Р ↔ Q) → Q .

12. Проверить, являются ли следующие высказывания истинными:

1). ((A → B)v C) ↔ ((Ā Ù В) → С).

2). (А v В) → (А ↔ С) Ù С.

3). (А Ù В) → (В v С) Ù (А ↔ С).

4). ((А → С) v В) Ù А) → (А Ù В).

13. Перевести на язык логики высказываний следующие выра­жения:

1). «Он молчит, а Варенька поет ему «Виют витры» или глядит на него задумчиво своими темными глазами, или вдруг зальется: «Ха-ха-ха!»» (А.П. Чехов).

2). «Если кто из товарищей опаздывал на молебен, или до него доходили слухи о какой-либо проказе гимназистов, или видели классную даму поздно вечером с офицером, то он очень волновался и все говорил, как бы чего не вышло» (А.П. Чехов).

3). «Если я долго не приезжал в город, то, значит, я был болен или что-нибудь случилось со мной, и они оба сильно беспокоились» (А.П. Чехов).

14. Построить таблицы истинности для следующих логических форм:

15. Являются ли равнозначными следующие высказывания (по­парно):

1). Иван и Марья друг друга не любят; неверно, что Иван любит Марью, а Марья любит Ивана.

2). Каждый студент нашего курса способен или трудолюбив; не­верно, что каждый студент нашего курса не способен и не трудолю­бив.

3). Число четное тогда и только тогда, когда оно делится на 2; ес­ли число четное, то оно делится на 2, а если число нечетное, то оно не делится на 2.

4. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ

Законы формальной логики связаны с истинностью (правильно­стью) мышления. В них выражается определенность, последова­тельность, непротиворечивость и обоснованность мыслительного процесса. Законы логики являются принципами правильного рассу­ждения в ходе доказательства истинности или опровержения лож­ности высказываний.

Специфика законов логики в том, что в качестве значений пере­менных, входящих в структуру логических форм, выступают от­дельные высказывания как целостные образования. Какие бы вы­сказывания ни подставлялись вместо переменных в логический за­кон, результат будет одним и тем же: полученное сложное высказы­вание будет истинным.

Наиболее простыми законами логики высказываний являются за­коны с одной переменной – закон исключенного третьего, закон не­противоречия, закон тождества, законы удаления и введения двой­ного отрицания.

Закон исключенного третьего– это форма AvA. Если в эту форму вместо А подставить какое-либо высказывание, то в результате всегда получается сложное истинное высказывание. Данный закон гласит: из двух противоречащих высказываний одно истинно, одно ложно, а третьего не дано. Он действителен только для контрадик­торных (противоречивых) высказываний (А – О, Е – J, О – A, J – Е), которые не могут быть вместе ложными. Сфера применимости этого закона может быть представлена следующими вариантами-схемами:

1. Это S есть Р. – Это S не есть Р.

2. Все S есть Р. – Некоторые S не есть Р.

3. Ни одно S не есть Р. – Некоторые S есть Р.

Законом непротиворечияназывается форма (А л А). Она тоже порождает только истинные сложные высказывания Данный закон гласит: два противоположных высказывания не могут быть истин­ными в одно и то же время и в одном и том же отношении. Следова­тельно, одно из них или даже оба могут быть ложными.

Варианты схемы применения данного закона:

1. А – Е. Все S есть Р. – Ни одно S не есть Р (ложно одно изних, или ложны оба высказывания).

2. А – О. Все S есть Р. – Некоторые S не есть Р (ложно одно из

3. Е – J. Ни одно S не есть Р. – Некоторые S есть Р (ложно одно

4. Это S есть Р. – Это S не есть Р (ложно одно из них).

Согласно закону тождества(А ↔ А), всякое высказывание яв­ляется необходимым и достаточным условием своей собственной истинности. Отсюда вытекает, что в процессе рассуждения всякое высказывание должно быть согласовано с самим собой. Рассогласо­ванность в смыслах используемых высказываний чревата серьезны­ми ошибками. Самые серьезные из них называются подменой поня­тия и подменой тезиса.

Известно, что если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается, что утверждается это высказывание без всякого отрицания. Так, говоря: «Неверно, что Иванов не виноват», мы тем самым утверждаем: «Иванов виноват». Отсюда ясна спра­ведливость закона удаления двойного отрицания.

Столь же приемлемо и обратное положение – А → А, называе­мое законом введения двойного отрицания.

Рассмотренные законы с одной переменной легко устанавлива­ются табличным способом (см. табл. 4.1).

А	Av Ā	(А Ù А)	А↔А	Ā →А	А→ Ā
И	И	И	И	И	И
л	И	И	И	И	И

Более сложную структуру имеют законы с более чем одной пе­ременной.

Законы исключенного третьего, непротиворечия и тождества бы­ли открыты еще Аристотелем.

Закон достаточного основаниябыл сформулирован Лейбницем уже в XVIII в. Он гласит: всякая мысль должна быть достаточно обоснованной. Смысл этого закона выходит за пределы языка логи­ки высказываний и не может быть представлен в логической форме. Данный закон работает в системе доказательств, опровержения и требует аргументации. Достаточным основанием любого высказы­вания является другое высказывание, ранее признанное истинным из которого с необходимостью вытекает истинность данного выска­зывания. Любое положение может быть признано истинным только после того, как его истинность будет доказана, и не должно прини­маться на веру.

Закон достаточного основания гласит: всякая истинная (доказан­ная) мысль имеет достаточное основание. Выражается он так: «А есть потому, что есть В».

Дата добавления: 2015-03-11 ; просмотров: 1050 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4

С увеличением числа переменных табличный метод становится трудноприменимым, поскольку быстро возрастает число строк в таблице, исчисляемых по формуле S = 2П, где S – число строк; п – число переменных. (Так, при пяти переменных таблица состоит из 32 строк.) Поэтому изобретаются более удобные способы селек­ции логических законов.

С более кратким способом ознакомимся на примере формы ((А → В) Ù(В→ С) ÙА) → С. Ход мысли будет следующим:

1. Чтобы форма не являлась логическим законом, она при неко­торой подстановке должна стать ложным высказыванием.

2. Поскольку наша форма – импликация, она может оказаться ложным высказыванием только в том случае, когда при некоторой подстановке ее основание окажется истинным, а следствие – ложным, то есть (А→ В) Ù (В→ С) ÙА будет истинным, а С — ложным.

3. Чтобы данное основание было истинным, необходимо, по­скольку оно является конъюнкцией, чтобы оба его члена были ис­тинны, т. е. (А → В) Ù (В→ С) и А должны быть истинны.

4. Поскольку (А → В) Ù (В → С) – конъюнкция, постольку при ее истинности оба ее члена, то есть А → В и В → С, должны быть ис­тинны.

5. Так как А → В – истинная импликация и истинно ее основание А (согласно п. 3), то В тоже будет истинным.

6. Поскольку В → С – истинная импликация и В истинно, то и С истинно.

7. Наше допущение о ложности С, таким образом, отпадает, то есть следствие нашей импликации должно быть истинным, тогда истинной будет и вся импликация. Поскольку она не может быть ложной при одной единственной подстановке, которую мы прове­рили, постольку она – логический закон.

1. Установить, какие из следующих предложений являются, а ка­кие не являются высказываниями:

1). Всякая общественно-экономическая формация имеет своей основой способ производства материальных благ. 2). Был ли Наполеон французским императором? 3). Наполеон никогда не был французским императором. 4). Водители, не нарушайте правила дорожного движения! 5). Цена товара X меньше его стоимости.

2. Установить вид высказываний по характеру предиката:

1). Все кошки – млекопитающие.

2). Некоторые множества бесконечны.

3). Спрос рождает предложение.

4). Верста больше километра.

5). Сравнение – это мысленная операция.

6). Каждый человек моложе своих родителей.

7). Этот человек не имеет чувства юмора.

8) Солнце – звезда.

9). Атлантида не существует.

10). Существует любовь.

11). Минск древнее Могилева.

12). Иван уважает Алексея.

3. Установить количество и качество следующих высказываний:

1). Наукообразное преподнесение лжи гипнотически действует на доверчивого человека.

2). В любой библиотеке есть книги, к которым обращаются очень редко.

3). Многие выдающиеся математики не приняли неевклидовой геометрии.

4. Привести следующие высказывания к одной из четырех форм
и выразить в символическом виде:

1). Некоторые проблемы человеческой истории до сих пор не решены.

2). Каждый кулик свое болото хвалит.

3). Ни один ученый не мыслит формулами (А. Эйнштейн).

5. Установить распределенность терминов в следующих выска­зываниях:

1). В первобытном обществе не существовало никакой власти, которая была бы обособлена от общества и как бы стояла над ним.

2). Должностные лица наделены особыми полномочиями совер­шать от имени государства те или иные властные действия.

3). Никакая поддержка террористических банд не может быть оправдана.

4). Некоторая часть преобразующей деятельности человека нега­тивно изменяет условия развития естественных систем.

% всего мирового грузооборота перевозится морским пу­тем.

6). Только талантливый оратор не говорит заученными фразами.

7). Ни один человек не должен страдать за правду.

8). Ни один человек не живет два века.

9). Незаконная сделка является недействительной.

10). Юность планеты хочет видеть мир свободным от насилия и войн.

11). Маршал Жуков – выдающийся полководец второй мировой войны.

12). Деньги есть условный эквивалент товара.

6. Образовать высказывания всех форм (А, Е, J, О) из следующих пар:

1). Русский князь (S); сторонник централизованной власти (Р).

3). Русский феодал (S); сторонник преобразований Петра I (P). 4). Иван (S); брат Марьи (Р).

7. Выяснить, в значении каких логических союзов употребляют­ся грамматические союзы в следующих предложениях. Записать в символической форме.

1). Хоть редко, да метко.

2). «Почтенный старец этот постоянно был сердит или выпивши, или выпивши и сердит вместе» ().

3). «Храбрец или сидит в седле, или тихо спит в сырой земле» (Р. Гамзатов).

4). Движение яхты было возможно лишь тогда, когда дул ветер.

5). «Стоило отцу заикнуться о плате, как капитан с яростью при­нимался сопеть» (Р. Стивенсон).

6). Атеросклероз чаще всего поражает жителей больших городов и людей умственного труда.

8. Записать следующие сложные высказывания в символической форме:

1). Фемистокл знал каждого жителя Афин в лицо и по имени.

2). Каждый из нас знает книгу или хотя бы имя Альфреда Брема.

3). Неверно, что он готовился к уроку и решит эту задачуНеверно, что он готовился к уроку, однако он решит эту задачу.

5). Неверно, что ветер дует, если и только если нет дождя.

6). Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямоли­нейного движения, если только оно не вынуждено изменить это со­стояние под влиянием действующих сил.

9. Дано истинное высказывание Р. Можно ли установить логиче­ское значение Q в высказывании (Q v Р) -> Р?

10. Пользуясь значениями логических союзов, решить следую­щую задачу.

В деле об убийствах имеются двое подозреваемых – Петр и Павел. Допросили четырех свидетелей, которые последовательно дали такие показания: «Петр не виноват», «Павел не виноват», «Из двух первых показаний по меньшей мере одно истинно», «Показания третьего ложны». Четвертый свидетель оказался прав. Кто преступник?

11. Построить таблицу истинности высказывания (Р ↔ Q) → Q .

12. Проверить, являются ли следующие высказывания истинными:

1). ((A → B)v C) ↔ ((Ā Ù В) → С).

2). (А v В) → (А ↔ С) Ù С.

3). (А Ù В) → (В v С) Ù (А ↔ С).

4). ((А → С) v В) Ù А) → (А Ù В).

13. Перевести на язык логики высказываний следующие выра­жения:

1). «Он молчит, а Варенька поет ему «Виют витры» или глядит на него задумчиво своими темными глазами, или вдруг зальется: «Ха-ха-ха!»» ().

2). «Если кто из товарищей опаздывал на молебен, или до него доходили слухи о какой-либо проказе гимназистов, или видели классную даму поздно вечером с офицером, то он очень волновался и все говорил, как бы чего не вышло» ().

3). «Если я долго не приезжал в город, то, значит, я был болен или что-нибудь случилось со мной, и они оба сильно беспокоились» ().

14. Построить таблицы истинности для следующих логических форм:

15. Являются ли равнозначными следующие высказывания (по­парно):

1). Иван и Марья друг друга не любят; неверно, что Иван любит Марью, а Марья любит Ивана.

2). Каждый студент нашего курса способен или трудолюбив; не­верно, что каждый студент нашего курса не способен и не трудолю­бив.

3). Число четное тогда и только тогда, когда оно делится на 2; ес­ли число четное, то оно делится на 2, а если число нечетное, то оно не делится на 2.

4. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ

Законы формальной логики связаны с истинностью (правильно­стью) мышления. В них выражается определенность, последова­тельность, непротиворечивость и обоснованность мыслительного процесса. Законы логики являются принципами правильного рассу­ждения в ходе доказательства истинности или опровержения лож­ности высказываний.

Специфика законов логики в том, что в качестве значений пере­менных, входящих в структуру логических форм, выступают от­дельные высказывания как целостные образования. Какие бы вы­сказывания ни подставлялись вместо переменных в логический за­кон, результат будет одним и тем же: полученное сложное высказы­вание будет истинным.

Наиболее простыми законами логики высказываний являются за­коны с одной переменной – закон исключенного третьего, закон не­противоречия, закон тождества, законы удаления и введения двой­ного отрицания.

Закон исключенного третьего – это форма AvA. Если в эту форму вместо А подставить какое-либо высказывание, то в результате всегда получается сложное истинное высказывание. Данный закон гласит: из двух противоречащих высказываний одно истинно, одно ложно, а третьего не дано. Он действителен только для контрадик­торных (противоречивых) высказываний (А – О, Е – J, О – A, J – Е), которые не могут быть вместе ложными. Сфера применимости этого закона может быть представлена следующими вариантами-схемами:

1. Это S есть Р. – Это S не есть Р.

2. Все S есть Р. – Некоторые S не есть Р.

3. Ни одно S не есть Р. – Некоторые S есть Р.

Законом непротиворечия называется форма (А л А). Она тоже порождает только истинные сложные высказывания Данный закон гласит: два противоположных высказывания не могут быть истин­ными в одно и то же время и в одном и том же отношении. Следова­тельно, одно из них или даже оба могут быть ложными.

Варианты схемы применения данного закона:

1. А – Е. Все S есть Р. – Ни одно S не есть Р (ложно одно из них, или ложны оба высказывания).

2. А – О. Все S есть Р. – Некоторые S не есть Р (ложно одно из

3. Е – J. Ни одно S не есть Р. – Некоторые S есть Р (ложно одно

4. Это S есть Р. – Это S не есть Р (ложно одно из них).

Согласно закону тождества (А ↔ А), всякое высказывание яв­ляется необходимым и достаточным условием своей собственной истинности. Отсюда вытекает, что в процессе рассуждения всякое высказывание должно быть согласовано с самим собой. Рассогласо­ванность в смыслах используемых высказываний чревата серьезны­ми ошибками. Самые серьезные из них называются подменой поня­тия и подменой тезиса.

Известно, что если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается, что утверждается это высказывание без всякого отрицания. Так, говоря: «Неверно, что Иванов не виноват», мы тем самым утверждаем: «Иванов виноват». Отсюда ясна спра­ведливость закона удаления двойного отрицания.

Столь же приемлемо и обратное положение – А → А, называе­мое законом введения двойного отрицания.

Рассмотренные законы с одной переменной легко устанавлива­ются табличным способом (см. табл. 4.1).