Доказать что в кубе параллельны плоскости

Содержание

1 Параллельные плоскости – основные сведения.
2 Параллельность плоскостей – признак и условия параллельности.
- 2.1 Просмотр содержимого документа «Параллельность прямой плоскости»
  - - 2.1.0.1 Этот видеоурок доступен по абонементу
3 1. Тема урока
4 2. Определения параллельных плоскостей
5 3. Аксиома А3
6 4. Теорема (Признак параллельности двух плоскостей) и доказательство
7 5. Задача 1
8 6. Задача 2
9 7. Задача 3
10 8. Итоги урока

Эта статья посвящена параллельным плоскостям и параллельности плоскостей. Сначала дано определение параллельных плоскостей, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации. Далее приведен признак параллельности плоскостей и теоремы, позволяющие доказывать параллельность плоскостей. В заключении рассмотрены необходимые и достаточные условия параллельности плоскостей, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, а также подробно разобраны решения примеров.

Навигация по странице.

Параллельные плоскости – основные сведения.

Дадим определение параллельных плоскостей.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ «». Таким образом, если плоскости и параллельны, то можно кратко записать .

Обычно две параллельные плоскости на чертеже изображаются в виде одинаковых параллелограммов, смещенных относительно друг друга.

Отметим, что если плоскости и параллельны, то также можно сказать, что плоскость параллельна плоскости , или плоскость параллельна плоскости .

Представление о параллельных плоскостях позволяют получить, к примеру, плоскость потолка и пола. Противоположные грани куба лежат в параллельных плоскостях.

Параллельность плоскостей – признак и условия параллельности.

При решении геометрических задач часто встает вопрос: «параллельны ли две заданные плоскости»? Для ответа на него существует признак параллельности плоскостей, который представляет собой достаточное условие параллельности плоскостей. Сформулируем его в виде теоремы.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

С доказательством этого признака параллельности плоскостей Вы можете ознакомиться на страницах учебника геометрии за 10 – 11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.

На практике для доказательства параллельности плоскостей также часто используются две следующие теоремы.

Если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость либо тоже параллельна этой плоскости, либо совпадает с ней.

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основании приведенных теорем и признака параллельности плоскостей доказывается параллельность любых двух плоскостей.

Теперь подробно остановимся на необходимом и достаточном условии параллельности двух плоскостей и , которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz плоскости соответствует общее уравнение плоскости вида , а плоскости – вида . (Если плоскости заданы уравнениями плоскостей в отрезках, то от них легко перейти к общим уравнениям плоскостей.)

Для параллельности плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида не имела решений (была несовместна).

Если плоскости и параллельны, то по определению они не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяли бы одновременно обоим уравнениям плоскостей. Поэтому, система уравнений не имеет решений.

Если система линейных уравнений не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям системы. Следовательно, плоскости и не имеют ни одной общей точки, то есть, они параллельны.

Рассмотрим применение необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Параллельны ли плоскости и ?

Составим систему уравнений из заданных уравнений плоскостей. Она имеет вид . Выясним, имеет ли эта система линейных уравнений решения (при необходимости смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).

Ранг матрицы равен одному, так как все миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы равен двум, так как минор отличен от нуля. Итак, ранг основной матрицы системы уравнений меньше ранга расширенной матрицы системы. При этом из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система уравнений не имеет решений. Этим доказано, что плоскости и параллельны.

Заметим, что использование метода Гаусса для решения системы линейных уравнений привело бы нас к этому же результату.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей можно сформулировать иначе.

Для параллельности двух несовпадающих плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости и нормальный вектор плоскости были коллинеарны.

Доказательство этого условия основано на определении нормального вектора плоскости.

Пусть и – нормальные векторы плоскостей и соответственно. Условие коллинеарности векторов и записывается как , где t – некоторое действительное число.

Таким образом, для параллельности несовпадающих плоскостей и , нормальными векторами которых являются векторы и соответственно, необходимо и достаточно, чтобы существовало действительное число t , для которого справедливо равенство .

Известно, что в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость проходит через три точки , а плоскость определяется уравнением . Докажите параллельность плоскостей и .

Сначала убедимся, что плоскости и не совпадают. Это действительно так, так как координаты точки А не удовлетворяют уравнению плоскости .

Теперь найдем координаты нормальных векторов и плоскостей и и проверим выполнение условия коллинеарности векторов и .

В качестве вектора можно взять векторное произведение векторов и . Векторы и имеют координаты и соответственно (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его начала и конца). Тогда .

Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости приведем ее уравнение к общему уравнению плоскости: . Теперь видно, что .

Проверим выполнение условия коллинеарности векторов и .

Так как , то векторы и связаны равенством , то есть, они коллинеарны.

Итак, плоскости и не совпадают, а их нормальные векторы коллинеарны, следовательно, плоскости и параллельны.

Замечание: разобранное необходимое и достаточное условие не очень удобно для доказательства параллельности плоскостей, так как отдельно приходится доказывать, что плоскости не совпадают.

Параллельность прямой плоскости.10 класс Презентация составлена для изучения темы. Будет полезна учителям и учащимся.

Просмотр содержимого документа
«Параллельность прямой плоскости»

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Определение. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки.

В режиме слайдов формулировка появляется после кликанья мышкой

Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая и плоскость

Имеют общие точки

Не имеют общих точек

Имеют одну общую точку (пересекаются)

Имеют более одной общей точки (прямая лежит в плоскости)

Параллельности двух прямых

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой.

Доказательство. Пусть плоскость α проходит через прямую a , параллельную плоскости β , и прямая b является линией пересечения этих плоскостей. Докажем, что прямые a и b параллельны.

В режиме слайдов формулировка появляется после кликанья мышкой

Действительно, они лежат в одной плоскости α . Кроме этого, прямая b лежит в плоскости β , а прямая a не пересекается с этой плоскостью. Следовательно, прямая a и подавно не пересекается с прямой b . Таким образом, прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Значит, они параллельны.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Доказательство. Пусть прямая a не лежит в плоскости β и параллельна прямой b , лежащей в этой плоскости. Докажем, что прямая a параллельна плоскости β .

Предположим противное, т.е., что прямая a пересекает плоскость β в некоторой точке C .

В режиме слайдов формулировка появляется после кликанья мышкой

Рассмотрим плоскость α , проходящую через прямые a и b ( a || b , по условию). Точка C принадлежит как плоскости β , так и плоскости α , т.е. принадлежит линии их пересечения – прямой b . Следовательно, прямые a и b пересекаются, что противоречит условию. Таким образом, a || β .

Верно ли утверждение о том, что две прямые, параллельные одной и той же плоскости, параллельны между собой?