Действие над положительными действительными числами

Множество действительных чисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел. Буква R является обозначением рассматриваемого множества. Множество R представляется промежутком вида ( – ∞ ; + ∞ ).

Стоит заметить, что любое рациональное число всегда может принимать вид бесконечной десятичной периодической дроби, любое иррациональное число бесконечной десятичной непериодической дроби, исходя из вышесказанного следует вывод, что множество, включающее в себя конечные и бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби принадлежит множеству R .

Геометрическая модель действительных чисел

Координатная прямая непосредственно представляет собой геометрическую модель множества R . Следовательно, каждой точке на координатной прямой всегда можно поставить в соответствие некоторое действительное число.

Сравнение действительных чисел

Сравнение действительных чисел можно производить воспользовавшись либо геометрической моделью, либо их можно сравнивать аналитически. Рассмотрим оба способа сравнения. На координатной прямой расположено в произвольном порядке два числа. Определить, какое из них больше достаточно просто. Большее число всегда находится правее другого.

Аналитически определись какое число является большим или меньшим какого либо числа тоже возможно, для этого достаточно найти разность этих чисел и затем сравнить ее с нулем. Если полученная разность будет иметь положительный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет больше чем второе число (вычитаемое разности); если же разность будет иметь отрицательный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет меньше, чем второе число (вычитаемое разности).

Ниже рассмотрим примеры, демонстрирующие оба способа сравнения:

Сравнить числа f r a c 185 и 4 .

Для сравнения данных чисел найдем разность этих чисел.

f r a c 185 – 4 = f r a c 185 – f r a c 205 = – f r a c 25 чтобы вычислить данную разность, надо привести данные числа к общему знаменателю, воспользовавшись правилом приведения к общему знаменателю. Проделав данную операцию, видим, что знаменатель в данном примере равен 5. После этого опираясь на правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем, вычтем из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставим прежним. Обратим внимание, что разность приведенных чисел является отрицательной, значит первое число (уменьшаемое) меньше второго (вычитаемого), т. е. f r a c 185 4 .

Сравнить числа f r a c 185 и 4 с помощью координатной прямой.

Чтобы сравнить данные числа, следует определить геометрическое место точек этих чисел на координатной прямой. Т.е. сравниваемые действительные числа будут соответствовать определенным координатам на координатной прямой, а именно числам f r a c 185 и 4 . Для начала преобразуем неправильную дробь frac185 в смешанное число т.е. выделим целую часть, следовательно, получим 3 f r a c 35 .

Далее на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут равны 3 f r a c 35 и 4 . f r a c 185 содержит в себе 3 целых, значит данное число расположено левее 4. Как уже известно, меньшее число лежит левее, исходя из этого напрашивается вывод, что f r a c 185 4 .

Можно сделать вывод, что вне зависимости от внешнего вида сравнения действительных чисел можно реализовать все арифметические операции, а именно сложение, вычитание, умножение и деление. Однако перед выполнением действий с действительными числами следует учитывать исходные знаки данных чисел т.е. определить является каждое число положительными или отрицательными.

Сложение действительных чисел

Чтобы сложить два действительных числа с одинаковыми знаками следует сначала сложить их модули и затем перед суммой поставить их общий знак. Например:

( + 8 ) + ( + 2 ) = + 10 ; ( – 5 ) + ( – 4 ) = – 9 .

Чтобы сложить два действительных числа с разными знаками следует для начала обратить внимание на знак числа, если знак одного из чисел отрицательный, тогда это число следует вычитать из другого, если положительный – сложить с другим. Далее нужно сложить либо вычесть данные числа и поставить знак большего модуля. Например

( + 2 ) + ( – 7 ) = – 5 ; ( + 10 ) + ( – 4 ) = + 6 .

Вычитание действительных чисел

Вычитание действительных чисел можно представить в виде сложения: a – b = a + ( – b ) , то есть, чтобы вычесть из числа а число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Например: ( + 5 ) – ( – 7 ) = ( + 3 ) + ( + 7 ) = 12 ; ( + 6 ) – ( + 4 ) = ( + 6 ) + ( – 4 ) = + 2 .

Умножение действительных чисел

Чтобы умножить (разделить) два действительных числа необходимо умножить (разделить) их модули. И затем перед результатом поставить знак по приведенному в таблице правилу знаков ниже.

При умножении и делении действительных чисел желательно помнить пословицу: «Друг моего друга — мой друг, враг моего врага — мой друг, друг моего врага — мой враг, враг моего друга — мой враг».

( + 2 ) ( + 7 ) = + 14 ; ( – 2 ) ( + 6 ) = – 12 ; ( – 2 ) ( – 8 ) = 16 ;

Свойства арифметических действий над действительными числами (основные законы алгебры)

В алгебре существуют так называемые основные законы алгебры. Они практически всегда принимаются за истину (случаи ложности данных законов не рассматриваем) и сформулированы в виде следующих свойств-тождеств:

1. a + b = b + a ;
2. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ;
3. a + 0 = a ;
4. a + ( – a ) = 0 ;
5. a b = b a ;
6. ( a b ) c = a ( b c ) ;
7. a ( b + c ) = a b + a c ;
8. a · 1 = a ;
9. a · 0 = 0 ;
10. a · 1 a = 1 , ( a ≠ 0 ) .

Свойства 1 и 5 выражают переместительный закон (коммутативность) сложения и умножения соответственно;

Cвойства 2 и 6 выражают сочетательный закон (ассоциативность);

Cвойство 7 — распределительный закон (дистрибутивность) умножения относительно сложения;

Cвойства 3 и 8 указывают на наличие нейтрального элемента для сложения и умножения соответственно;

Cвойства 4 и 10 – на наличие нейтрализующего элемента соответственно.

Четвёртый мини-урок из серии "Множество действительных чисел". В данной презентации показаны формулы сокращенного умножения, основные свойства алгебраических операций, показана приоритетность операций над действительными числами. Приведены различные примеры.

Просмотр содержимого документа
«Действия над действительными числами.»

Модуль: Множество действительных чисел. Урок: Действия над действительными числами. Учитель математики I – ой дидактической степени теоретического лицея имени Св. Кирилла и Мефодия: Лунгу Евгения.

Действия над действительными числами.

• Вначале выполняем действия в скобках, соблюдая при этом общепринятый порядок действий.
• Извлечение квадратного корня и возведения в степень.
• Умножение и деление в порядке их записи.
• Сложение и вычитание в порядке их записи.

Действия над действительными числами.

Формулы сокращенного умножения:

Действия над действительными числами.

Свойства операций над действительными числами.

• Ассоциативность:
• Коммутативность:
• Существование нейтрального элемента:
• Существование противоположного и обратного чисел:

• Дистрибутивность:

Действия над действительными числами.

• Вычислите значение выражения:

Действия над действительными числами.

Действия над действительными числами.

• Заполните пустые ячейки таблицы:

Действия над действительными числами.

Действия над действительными числами.

• Вычислите значение выражения:

• Запишите два иррациональных числа такие, что:

• их произведение – рациональное число, а сумма – иррациональное;
• их сумма и произведение –рациональные числа.

Действительные числа

Множество действительных чисел состоит из множества рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел R. Так же множество действительных чисел можно обозначить промежутком (-?; +?)

Вспомним, что любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби, а любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби, значит будет верно следующее утверждение:

Множество конечных и бесконечных десятичных дробей составляют множество действительных чисел.

Геометрическая модель действительных чисел

Геометрической моделью действительных чисел является координатная прямая. Это связано с тем, что каждая точка числовой имеет координату, которая будет являться действительным числом.

Сравнение действительных чисел

Для того чтобы сравнить действительные числа, можно воспользоваться или геометрической моделью действительных чисел или провести сравнение аналитически.Рассмотрим данные способы.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Для того чтоюы сравнить два действительных числа, достаточно найти разность этих чисел и сравнить ее с нулем. Если разность будет положительна, то первое число(уменьшаемое разности) будет больше второго числа(вычитаемого разности); если же разность будет отрицательна, то наоборот

Сравнить числа $frac<18><5>$ и $4$.

Решение. Для сравнения этих чисел составим и вычислим их разность

для вычисления разности мы приводили данные числа к общему знаменателю, в данном случае общий знаменатель равен $5$. После этого используя правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем мы вычли из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставили прежним.

Теперь обратим вниманеи, что разность этих чисел получилась отрицательна, значит первое число( уменьшаемое) меньше второго(вычитаемого), т. е.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Для того чтобы сравнить числа с помощью числовой прямой, надо определить местоположение точек, координаты которых будут соответствовать сравниваемым действительным числам. То число, которое больше будет располагаться на координатной прямой правее, то, которое меньше левее

Сравнить числа $frac<18><5>$ и 4 с помощью координатной прямой

Решение. Для сравнения этих чисел сначала определим местоположение точек, координаты которых будут соответствовать сравниваемым действительным числам, т е числам $frac<18><5>$ и $4$.

Для этого сначала преобразуем неправильную дробь $frac<18><5>$ путем выделения целой части, тогда получим

Теперь на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут соответственно равны $3frac<3><5>$ и $4$.

Теперь становится очевидно, что точка с координатой 4 лежит правее чем точка с координатой $3frac<3><5>$ , значит число 4 больше чем $3frac<3><5>$ .

Мы видим, что вне зависимости от выбранного способа сравнения результат получен одинаковый.

С действительными числами можно осуществлять все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. На практике часто, для того чтобы не допустить ошибку перед тем, как производить действия надо определить знаки исходных чисел, т.е. определить положительными или отрицательным является каждое из чисел

Сложение действительных чисел

Для того чтобы найти сумму действительных чисел с одинаковыми знаками, надо сложить модули этих чисел и перед полученной суммой поставить из общий знак.

Например, найдем сумму чисел $375$ и $863$. Очевидно, что оба числа положительны, тогда $375+863=/375/+/863/=1238$.Полученная сумма будет иметь знак $«+»$, т к оба числа имели этот общий знак, т.е. были положительны

Теперь найдем сумму чисел $-375$ и $-863$. Оба числа отрицательны, значит сумма будет так же иметь знак $«-»$

Для того чтобы найти сумму чисел с разными знаками, надо из числа большего по модуля вычесть число меньшее по модулю и перед получившейся разностью поставить знак числа большего по модулю.

Например, найдем сумму чисел $-657$ и $343$. Сначала вычислим модули данных чисел

Теперь согласно правилу произведем дальнейший расчет

При вычисления произведения чисел необходимо придерживаться следующих правил:

при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным

Например, найдем произведение $sqrt<13>cdot sqrt<7>$

Оба числа положительны, значит и произведение этих чисел будет положительным. Действительно $sqrt<13>cdot sqrt<7>=sqrt<91>$

при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным

Например, найдем произведение $-frac<3><4>cdot left(-frac<6><8>
ight)=frac<18><32>=frac<9><16>$

при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Вычислим частное $frac<16><5>$ и $(-4)$

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь