№ 1.В правильной шестиугольной призмеABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиCдо прямойA1B1
№ 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD=12 AB=5,AA1=8, Найдите объем пирамиды MB1C1D, если M — точка на ребре AA1 , причемAM=5 .
№ 3. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра AB=7V3, SC=25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC .
№3.1 . В правильной треугольной SABC пирамиде с основанием ABC известны ребраAB=24V3, SC=25 . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC .
Решение.4.doc
№4. Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP , если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP .
№ 5.В прямоугольном параллелепипедеA-D1известны ребра:AB=6,AD=8,CC1=16.Найдите угол между плоскостямиABCиA1DB.
Решение 5.doc
№ 6. В кубе A-D1 найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1D .
№ 7. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой тетраэдра DH и медианой BM боковой грани BCD .
№ 8. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD .
№ 9 . В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1 .
№ 10. В правльной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD .
№ 11. В правильной шестиугольной призме A-F1 все ребра которой равны 1 найдите расстояние от точки B до прямой E1F1.
№ 12. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD .
Скрещивающимися называются прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Признак скрещивающихся прямых.
Если прямая а проходит через плоскость в точке, не принадлежащей прямой b, то прямые а и b – скрещивающиеся.
2. Некоторые факты о скрещивающихся прямых
Известный факт.
В пирамиде противоположные ребра являются скрещивающимися прямыми.
Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми а и b, необходимо из произвольной точки пространства провести прямые Найти плоскость 3. Решение задачи по теме “Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми в тетраэдре”
Задача 1
В правильном тетраэдре все ребра равны 1 см. Найти угол и расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD.
Правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро равно ребру основания.
Пусть
Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1 "Правильный тетраэдр"
Прямая DС принадлежит плоскости , поэтому она проектируется сама в себя.
Требуется найти расстояние от точки Рассмотрим треугольник Апофема данной пирамиды является высотой в равностороннем треугольнике, например треугольнике АВС, она легко находится из прямоугольного треугольника :
Вернемся к треугольнику
В данной задаче легко найти угол между скрещивающимися прямыми. Одна из них перпендикулярна плоскости , значит перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, а вторая скрещивающаяся прямая как раз лежит в этой плоскости. Вывод: рассматриваемые скрещивающиеся прямые перпендикулярны.
Перпендикулярность данных скрещивающихся прямых можно доказать иначе: пусть точка О – основание высоты DO пирамиды. СО есть проекция наклонной DC на плоскость АВС. Но СО (или ) перпендикулярна АВ, отсюда DC⊥AB (по теореме о трех перпендикулярах).
Итак, была рассмотрена обобщенная задача о правильном тетраэдре, подобная задачам из ЕГЭ, кроме того, мы вспомнили важные геометрические факты о скрещивающихся прямых и показали их практическое применение.
Список литературы по теме “Правильный тетраэдр, свойства, площадь”
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание по теме “Правильный тетраэдр”, “Площадь тетраэдра”
Задача 1: в правильной пирамиде DABC сторона основания равна Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.
Из-за блокировщика рекламы некоторые функции на сайте могут работать некорректно! Пожалуйста, отключите блокировщик рекламы на этом сайте.
Вам нужны консультации по Математике по Skype? Если да, подайте заявку. Стоимость договорная. Чтобы закрыть это окно, нажмите "Нет".
Чтобы пройти курс – зарегистрируйтесь, заполнив поля ниже.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми AB и CB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми AB и DA1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BA1 и CB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BA1 и B1D1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BA1 и AC (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BA1 и AD1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми AC и BD1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми AC и DB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BC1 и CA1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BC1 и DB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми CA1 и DC1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BD1 и DC1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BA1 и AC1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BA1 и DB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми AD1 и CA1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми AD1 и DB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми A1C1 и DB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми A1C1 и BD1 (знак градуса в ответе не пишите).
В правильном тетраэдре ABCD найдите угол (в градусах) между прямыми AB и CD (знак градуса в ответе не пишите).
В правильном тетраэдре ABCD найдите угол (в градусах) между прямыми AC и BD (знак градуса в ответе не пишите).
В правильном тетраэдре ABCD точки E и F – середины рёбер соответственно BC и BD. Найдите угол (в градусах) между прямыми AB и EF (знак градуса в ответе не пишите).
В правильном тетраэдре ABCD точки E и F – середины рёбер соответственно BD и CD. Найдите угол (в градусах) между прямыми AD и EF (знак градуса в ответе не пишите).
В правильном тетраэдре ABCD точки E, F и G – середины рёбер соответственно BC, BD и AD. Найдите (в градусах) угол EFG (знак градуса в ответе не пишите).
В правильном тетраэдре ABCD точки E, F и G – середины рёбер соответственно AB, AD и CD. Найдите (в градусах) угол EFG (знак градуса в ответе не пишите).
Подведение итогов
Поздравляем, вы прошли тест до конца!
Теперь нажмите на кнопку Сдать тест для того, чтобы окончательно сохранить ваши ответы и получить оценку. Внимание! После нажатия на кнопку вы не сможете внести изменения.
№ 1.В правильной шестиугольной призмеABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиCдо прямойA1B1
№ 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD=12 AB=5,AA1=8, Найдите объем пирамиды MB1C1D, если M — точка на ребре AA1 , причемAM=5 .
№ 3. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра AB=7V3, SC=25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC .
№3.1 . В правильной треугольной SABC пирамиде с основанием ABC известны ребраAB=24V3, SC=25 . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC .
Решение.4.doc
№4. Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP , если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP .
№ 5.В прямоугольном параллелепипедеA-D1известны ребра:AB=6,AD=8,CC1=16.Найдите угол между плоскостямиABCиA1DB.
Решение 5.doc
№ 6. В кубе A-D1 найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1D .
№ 7. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой тетраэдра DH и медианой BM боковой грани BCD .
№ 8. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD .
№ 9 . В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1 .
№ 10. В правльной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD .
№ 11. В правильной шестиугольной призме A-F1 все ребра которой равны 1 найдите расстояние от точки B до прямой E1F1.
№ 12. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD .
Скрещивающимися называются прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Признак скрещивающихся прямых.
Если прямая а проходит через плоскость в точке, не принадлежащей прямой b, то прямые а и b – скрещивающиеся.
2. Некоторые факты о скрещивающихся прямых
Известный факт.
В пирамиде противоположные ребра являются скрещивающимися прямыми.
Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми а и b, необходимо из произвольной точки пространства провести прямые Найти плоскость 3. Решение задачи по теме “Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми в тетраэдре”
Задача 1
В правильном тетраэдре все ребра равны 1 см. Найти угол и расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD.
Правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро равно ребру основания.
Пусть
Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1 "Правильный тетраэдр"
Прямая DС принадлежит плоскости , поэтому она проектируется сама в себя.
Требуется найти расстояние от точки Рассмотрим треугольник Апофема данной пирамиды является высотой в равностороннем треугольнике, например треугольнике АВС, она легко находится из прямоугольного треугольника :
Вернемся к треугольнику
В данной задаче легко найти угол между скрещивающимися прямыми. Одна из них перпендикулярна плоскости , значит перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, а вторая скрещивающаяся прямая как раз лежит в этой плоскости. Вывод: рассматриваемые скрещивающиеся прямые перпендикулярны.
Перпендикулярность данных скрещивающихся прямых можно доказать иначе: пусть точка О – основание высоты DO пирамиды. СО есть проекция наклонной DC на плоскость АВС. Но СО (или ) перпендикулярна АВ, отсюда DC⊥AB (по теореме о трех перпендикулярах).
Итак, была рассмотрена обобщенная задача о правильном тетраэдре, подобная задачам из ЕГЭ, кроме того, мы вспомнили важные геометрические факты о скрещивающихся прямых и показали их практическое применение.
Список литературы по теме “Правильный тетраэдр, свойства, площадь”
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание по теме “Правильный тетраэдр”, “Площадь тетраэдра”
Задача 1: в правильной пирамиде DABC сторона основания равна Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.
Из-за блокировщика рекламы некоторые функции на сайте могут работать некорректно! Пожалуйста, отключите блокировщик рекламы на этом сайте.
Вам нужны консультации по Математике по Skype? Если да, подайте заявку. Стоимость договорная. Чтобы закрыть это окно, нажмите "Нет".
Чтобы пройти курс – зарегистрируйтесь, заполнив поля ниже.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми AB и CB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми AB и DA1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BA1 и CB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BA1 и B1D1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BA1 и AC (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BA1 и AD1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми AC и BD1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми AC и DB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BC1 и CA1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BC1 и DB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми CA1 и DC1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BD1 и DC1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BA1 и AC1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми BA1 и DB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми AD1 и CA1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми AD1 и DB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми A1C1 и DB1 (знак градуса в ответе не пишите).
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол (в градусах) между прямыми A1C1 и BD1 (знак градуса в ответе не пишите).
В правильном тетраэдре ABCD найдите угол (в градусах) между прямыми AB и CD (знак градуса в ответе не пишите).
В правильном тетраэдре ABCD найдите угол (в градусах) между прямыми AC и BD (знак градуса в ответе не пишите).
В правильном тетраэдре ABCD точки E и F – середины рёбер соответственно BC и BD. Найдите угол (в градусах) между прямыми AB и EF (знак градуса в ответе не пишите).
В правильном тетраэдре ABCD точки E и F – середины рёбер соответственно BD и CD. Найдите угол (в градусах) между прямыми AD и EF (знак градуса в ответе не пишите).
В правильном тетраэдре ABCD точки E, F и G – середины рёбер соответственно BC, BD и AD. Найдите (в градусах) угол EFG (знак градуса в ответе не пишите).
В правильном тетраэдре ABCD точки E, F и G – середины рёбер соответственно AB, AD и CD. Найдите (в градусах) угол EFG (знак градуса в ответе не пишите).
Подведение итогов
Поздравляем, вы прошли тест до конца!
Теперь нажмите на кнопку Сдать тест для того, чтобы окончательно сохранить ваши ответы и получить оценку. Внимание! После нажатия на кнопку вы не сможете внести изменения.
Задачи С2
Задачи С2
в точке, не принадлежащей прямой b, то прямые а и b – скрещивающиеся.
Найти плоскость  между исходными скрещивающимися прямыми:</p>
<p>Из точки В проводим прямую, параллельную прямой а Из полученной точки Р опускаем перпендикуляр на прямую а – получаем точку Q Отрезок PQ и есть искомое расстояние Отрезок PQ – единственный общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым такой, что его концы расположены на скрещивающихся прямых.</p>
<h2><span id=)
3. Решение задачи по теме “Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми в тетраэдре”
, поэтому она проектируется сама в себя.
Рассмотрим треугольник , это и будет искомое расстояние.</p>
<p style=)
Апофема данной пирамиды является высотой в равностороннем треугольнике, например треугольнике АВС, она легко находится из прямоугольного треугольника 
:
, значит перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, а вторая скрещивающаяся прямая как раз лежит в этой плоскости. Вывод: рассматриваемые скрещивающиеся прямые перпендикулярны.
) перпендикулярна АВ, отсюда DC⊥AB (по теореме о трех перпендикулярах).
Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта. 
