Содержание
Примеры решения типовых задач
Задача 1.3.1 Трехфазный асинхронный двигатель включен в сеть 380 В по схеме «звезда». Параметры обмоток следующие: Rф = 2 Ом, Хф = 8 Ом.
Требуется: изобразить схему включения двигателя в сеть; определить фазные и линейные токи; определить потребляемую активную мощность; построить векторную диаграмму токов и напряжений; рассмотреть два аварийных режима – обрыв и короткое замыкание фазы А.
Т
рехфазный асинхронный двигатель является симметричной активно-индуктивной нагрузкой, поэтому включается в сеть по схеме «звезда» без нейтрального провода. Его схема замещения представлена на рис. 1.3.8
Номинальное напряжение сети является линейным напряжением, т. е. 
, тогда фазное напряжение
Поскольку нагрузка симметричная, то расчет можно проводить для одной фазы.
Полное сопротивление фазы
.
Для схемы «звезда» линейный ток 
. Потребляемая активная мощность
г
де – фазовый угол,
.
Векторная диаграмма токов и напряжений показана на рис. 1.3.9. Для построения векторной диаграммы необходимо выбрать масштабы напряжений 
и токов 
.
Рассмотрим аварийный режим работы– обрыв фазы А (рис.1.3.10).
В этом случае трехфазная цепь превращается в однофазную 
, причем фазы b и с оказываются включенными последовательно на линейное напряжение 
, т. е. на каждую из этих фаз падает напряжение 
Фазные и линейные токи
.
Как видно из расчета, потребляемая мощность снизилась почти в два раза.
Если обрыв фазы произошел внутри самого двигателя (обрыв обмотки), то эта обмотка оказывается под повышенным напряжением 
, что видно из векторной диаграммы (рис.1.3.11). Неповрежденные обмотки находятся под пониженным напряжением, что не опасно для них.
Рассмотрим аварийный режим работы – короткое замыкание фазы «а» (рис. 1.3.12, а, б).
При коротком замыкании фазы нейтральная точка оказывается связана с питающей точкой А, значит, неповрежденные фазы b и с окажутся включенными на линейное напряжение 
, что видно из векторной диаграммы.
Токи в неповрежденных фазах
.
Ток в фазе а равен геометрической сумме токов 
и 
( по векторной диаграмме составляет примерно 69 А).
Задача 1.3.2. Три однофазных приемника включены в трехфазную сеть с напряжением 380 В по схеме “звезда с нейтральным проводом”. Сопротивления приемников: 
Ом; 
Ом; 
Ом.
Требуется изобразить схему включения приемников; определить токи в проводах сети; построить векторную диаграмму токов и напряжений; вычислить активную, реактивную и полную (кажущуюся) мощности.
Схема включения приемников принципиальная и расчетная представлены на рис. 1.3.13, а,б.
Наличие нейтрального провода обеспечивает симметричную систему фазных напряжений на приемниках. Напряжение сети – линейное напряжение
В.
Система фазных напряжений в комплексной форме
Для схемы “звезда“ фазные и линейные токи равны между собой и составляют
Ток в нейтральном проводе
При построении векторных диаграмм фазные и линейные напряжения и токи строятся относительно комплексных осей откладываются с учетом начальных фаз. Ток в нейтральном проводе – это результат геометрического сложения векторов фазных токов, и его расположение и длина должны соответствовать расчетному значению 
(рис. 1.3.13).
Задача 1.3.3. К трехфазной системе напряжением 380 В подключены три одинаковых приемника (RФ = 3 Ом, XLФ = 4 Ом), соединенные по схеме “треугольник“ (рис.1.3.14). Определить токи в фазных и линейных проводах и потребляемую мощность (активную, реактивную, полную). Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Рассмотреть аварийные режимы – обрывы фазного и линейных проводов.
Нагрузка фаз одинакова, поэтому расчет проводится для одной фазы.
Напряжение сети – это линейное напряжение, в схеме “треугольник “ Uф = Uл = 380 В.
Комплексное сопротивление фазы:
где
линейные токи (только для симметричной нагрузки):
Активная мощность, потребляемая нагрузкой:
Векторная диаграмма может быть построена в двух вариантах в зависимости от изображения системы напряжений (рис.1.3.15 ). Предварительно выбирают масштабы тока и напряжения.
Фазные токи отстают от соответствующих напряжений на угол Ф = 53. Линейные токи находятся из соотношений:
Рассмотрим обрыв фазы “аb” (рис.1.3.16,а). Определим токи в неповрежденных фазах и в линии, построим векторную диаграмму токов и напряжений.
Рис. 1.3.16
Токи в неповрежденных фазах не изменяются, так как не изменяются напряжения:
Линейные токи по первому закону Кирхгофа (с учетом 
):
.
Из этих уравнений следует, что действующие значения линейных токов 
и 
равны действующим значениям фазных токов 
, а у линейного тока действующее значение не изменяется 
Векторная диаграмма токов и напряжений строится аналогично симметричному режиму и приведена на рис.1.3.16,б.
Рассмотрим обрыв линейного провода А (рис.1.3.17,а). Определим фазные и линейные токи и построим векторную диаграмму токов и напряжений.
К приемнику подводится только напряжение
Сопротивление фазы “bс” включено на полное напряжение 
, а равные сопротивления фаз “аb” и ”са” включены последовательно друг с другом, причем к каждому из них подведена половина напряжения 
.
Сеть становится аналогичной однофазной с двумя параллельными ветвями:
Ток фазы “bс” не изменяется:
токи других фаз :
линейные токи ( при 
) :
Векторная диаграмма токов и напряжений представлена на рис. 1.3.17,б.
Задача 1.3.4 В трехфазную сеть напряжением 380 В, частотой f = 50 Гц включен трехфазный асинхронный двигатель по схеме “треугольник“. Потребляемая активная мощность P = 1,44 кВт, коэффициент мощности cos = 0,85. Определить потребляемый двигателем ток, токи в обмотках двигателя, активное и индуктивное сопротивления, индуктивность катушек, полную и реактивную потребляемые мощности.
Двигатель является симметричной нагрузкой, поэтому расчет ведем на фазу.
Сеть маркируется линейным напряжением, поэтому UЛ = 380 В.
При соединении по схеме “треугольник“ UЛ = UФ= 380 В.
Активная мощность, потребляемая нагрузкой,
отсюда фазный ток, протекающий в обмотках двигателя:
Потребляемые двигателем токи – линейные токи:
Полное сопротивление фазы обмотки двигателя:
Ом,
Ом,
Ом.
Индуктивность обмотки определяется из выражения
,
Гн.
Полная потребляемая мощность:
кВА;
Задача 7.3 К трехпроводной трехфазной линии с напряжением 380 В подключены три однофазных приемника с параметрами: R1= 5 Ом, R2= 6 Ом, XL2= 8 Ом, R3=4 Ом, XC3= 3 Ом. Определить токи в фазах и линейных проводах, активную, реактивную и полную мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Однофазные приемники к трехпроводной сети подключаются по схеме “треугольник“ (рис.1.3.18).
Нагрузка несимметричная, ток каждой фазы нужно считать отдельно. Исходная система напряжений:
Комплексные сопротивления фаз:
Ом;
Ом;
Ом;
Сумма линейных токов должна равняться нулю, и действительно,
здесь знак “минус” показывает, что преобладает емкостная нагрузка.
Векторные диаграммы токов и напряжений в двух вариантах (для разного представления исходной системы напряжений) приведены на рис.1.3.19.
Предварительно выбирают масштабы тока и напряжения. Векторы фазных токов 
откладывают относительно векторов соответствующих напряжений под углами 
, 
, 
или в соответствии с полученными их начальными фазами 
; 
; 
. Затем по первому закону Кирхгофа строят векторы линейных токов 
, длина и направление которых должны соответствовать расчетным данным.
Рис.1.3.19 Векторные диаграммы токов и напряжений несимметричной нагрузки
Примеры решения типовых задач
Задача 1.3.1 Трехфазный асинхронный двигатель включен в сеть 380 В по схеме «звезда». Параметры обмоток следующие: Rф = 2 Ом, Хф = 8 Ом.
Требуется: изобразить схему включения двигателя в сеть; определить фазные и линейные токи; определить потребляемую активную мощность; построить векторную диаграмму токов и напряжений; рассмотреть два аварийных режима – обрыв и короткое замыкание фазы А.
Трехфазный асинхронный двигатель является симметричной активно-индуктивной нагрузкой, поэтому включается в сеть по схеме «звезда» без нейтрального провода. Его схема замещения представлена на рис. 1.3.8
Номинальное напряжение сети является линейным напряжением, т. е. , тогда фазное напряжение
Поскольку нагрузка симметричная, то расчет можно проводить для одной фазы.
Полное сопротивление фазы
.
Для схемы «звезда» линейный ток . Потребляемая активная мощность
где – фазовый угол,
.
Векторная диаграмма токов и напряжений показана на рис. 1.3.9. Для построения векторной диаграммы необходимо выбрать масштабы напряжений и токов .
Рассмотрим аварийный режим работы– обрыв фазы А (рис.1.3.10).
В этом случае трехфазная цепь превращается в однофазную , причем фазы b и с оказываются включенными последовательно на линейное напряжение , т. е. на каждую из этих фаз падает напряжение
Фазные и линейные токи
.
Как видно из расчета, потребляемая мощность снизилась почти в два раза.
Если обрыв фазы произошел внутри самого двигателя (обрыв обмотки), то эта обмотка оказывается под повышенным напряжением , что видно из векторной диаграммы (рис.1.3.11). Неповрежденные обмотки находятся под пониженным напряжением, что не опасно для них.
Рассмотрим аварийный режим работы – короткое замыкание фазы «а» (рис. 1.3.12, а, б).
При коротком замыкании фазы нейтральная точка оказывается связана с питающей точкой А, значит, неповрежденные фазы b и с окажутся включенными на линейное напряжение , что видно из векторной диаграммы.
Токи в неповрежденных фазах
.
Ток в фазе а равен геометрической сумме токов и ( по векторной диаграмме составляет примерно 69 А).
Задача 1.3.2. Три однофазных приемника включены в трехфазную сеть с напряжением 380 В по схеме “звезда с нейтральным проводом”. Сопротивления приемников: Ом; Ом; Ом.
Требуется изобразить схему включения приемников; определить токи в проводах сети; построить векторную диаграмму токов и напряжений; вычислить активную, реактивную и полную (кажущуюся) мощности.
Схема включения приемников принципиальная и расчетная представлены на рис. 1.3.13, а,б.
Наличие нейтрального провода обеспечивает симметричную систему фазных напряжений на приемниках. Напряжение сети – линейное напряжение
В.
Система фазных напряжений в комплексной форме
Для схемы “звезда“ фазные и линейные токи равны между собой и составляют
Ток в нейтральном проводе
При построении векторных диаграмм фазные и линейные напряжения и токи строятся относительно комплексных осей откладываются с учетом начальных фаз. Ток в нейтральном проводе – это результат геометрического сложения векторов фазных токов, и его расположение и длина должны соответствовать расчетному значению (рис. 1.3.13).
Задача 1.3.3. К трехфазной системе напряжением 380 В подключены три одинаковых приемника (RФ = 3 Ом, XLФ = 4 Ом), соединенные по схеме “треугольник“ (рис.1.3.14). Определить токи в фазных и линейных проводах и потребляемую мощность (активную, реактивную, полную). Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Рассмотреть аварийные режимы – обрывы фазного и линейных проводов.
Нагрузка фаз одинакова, поэтому расчет проводится для одной фазы.
Напряжение сети – это линейное напряжение, в схеме “треугольник “ Uф = Uл = 380 В.
Комплексное сопротивление фазы:
где
линейные токи (только для симметричной нагрузки):
Активная мощность, потребляемая нагрузкой:
Векторная диаграмма может быть построена в двух вариантах в зависимости от изображения системы напряжений (рис.1.3.15 ). Предварительно выбирают масштабы тока и напряжения.
Фазные токи отстают от соответствующих напряжений на угол Ф = 53. Линейные токи находятся из соотношений:
Рассмотрим обрыв фазы “аb” (рис.1.3.16,а). Определим токи в неповрежденных фазах и в линии, построим векторную диаграмму токов и напряжений.
Рис. 1.3.16
Токи в неповрежденных фазах не изменяются, так как не изменяются напряжения:
Линейные токи по первому закону Кирхгофа (с учетом ):
.
Из этих уравнений следует, что действующие значения линейных токов и равны действующим значениям фазных токов , а у линейного тока действующее значение не изменяется
Векторная диаграмма токов и напряжений строится аналогично симметричному режиму и приведена на рис.1.3.16,б.
Рассмотрим обрыв линейного провода А (рис.1.3.17,а). Определим фазные и линейные токи и построим векторную диаграмму токов и напряжений.
К приемнику подводится только напряжение
Сопротивление фазы “bс” включено на полное напряжение , а равные сопротивления фаз “аb” и ”са” включены последовательно друг с другом, причем к каждому из них подведена половина напряжения .
Сеть становится аналогичной однофазной с двумя параллельными ветвями:
Ток фазы “bс” не изменяется:
токи других фаз :
линейные токи ( при ) :
Векторная диаграмма токов и напряжений представлена на рис. 1.3.17,б.
Задача 1.3.4 В трехфазную сеть напряжением 380 В, частотой f = 50 Гц включен трехфазный асинхронный двигатель по схеме “треугольник“. Потребляемая активная мощность P = 1,44 кВт, коэффициент мощности cos = 0,85. Определить потребляемый двигателем ток, токи в обмотках двигателя, активное и индуктивное сопротивления, индуктивность катушек, полную и реактивную потребляемые мощности.
Двигатель является симметричной нагрузкой, поэтому расчет ведем на фазу.
Сеть маркируется линейным напряжением, поэтому UЛ = 380 В.
При соединении по схеме “треугольник“ UЛ = UФ= 380 В.
Активная мощность, потребляемая нагрузкой,
отсюда фазный ток, протекающий в обмотках двигателя:
Потребляемые двигателем токи – линейные токи:
Полное сопротивление фазы обмотки двигателя:
Ом,
Ом,
Ом.
Индуктивность обмотки определяется из выражения
,
Гн.
Полная потребляемая мощность:
кВА;
Задача 7.3 К трехпроводной трехфазной линии с напряжением 380 В подключены три однофазных приемника с параметрами: R1= 5 Ом, R2= 6 Ом, XL2= 8 Ом, R3=4 Ом, XC3= 3 Ом. Определить токи в фазах и линейных проводах, активную, реактивную и полную мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Однофазные приемники к трехпроводной сети подключаются по схеме “треугольник“ (рис.1.3.18).
Нагрузка несимметричная, ток каждой фазы нужно считать отдельно. Исходная система напряжений:
Комплексные сопротивления фаз:
Ом;
Ом;
Ом;
Сумма линейных токов должна равняться нулю, и действительно,
здесь знак “минус” показывает, что преобладает емкостная нагрузка.
Векторные диаграммы токов и напряжений в двух вариантах (для разного представления исходной системы напряжений) приведены на рис.1.3.19.
Предварительно выбирают масштабы тока и напряжения. Векторы фазных токов откладывают относительно векторов соответствующих напряжений под углами , , или в соответствии с полученными их начальными фазами ; ; . Затем по первому закону Кирхгофа строят векторы линейных токов , длина и направление которых должны соответствовать расчетным данным.
Рис.1.3.19 Векторные диаграммы токов и напряжений несимметричной нагрузки
В этой краткой статье, не вдаваясь в историю сетей переменного тока, разберемся в соотношениях между фазными и линейными напряжениями. Ответим на вопросы о том, что такое фазное напряжение и что такое линейное напряжение, как они соотносятся между собой и почему эти соотношения именно таковы.
Ни для кого не секрет, что сегодня электроэнергия от генерирующих электростанций подается к потребителям по высоковольтным линиям электропередач с частотой 50 Гц. На трансформаторных подстанциях высокое синусоидальное напряжение понижается, и распределяется по потребителям на уровне 220 или 380 вольт. Где-то сеть однофазная, где-то трехфазная, однако давайте разбираться.
Действующее значение и амплитудное значение напряжения
Прежде всего отметим, что когда говорят 220 или 380 вольт, то имеют ввиду действующие значения напряжений, выражаясь математическим языком – среднеквадратичные значения напряжений . Что это значит?
Это значит, что на самом деле амплитуда Um (максимум) синусоидального напряжения, фазного Umф или линейного Umл, всегда больше этого действующего значения. Для синусоидального напряжения его амплитуда больше действующего значения в корень из 2 раз, то есть в 1,414 раза.
Так что для фазного напряжения в 220 вольт амплитуда равна 310 вольт, а для линейного напряжения в 380 вольт амплитуда окажется равной 537 вольт. А если учесть, что напряжение в сети никогда не бывает стабильным, то эти значения могут быть как ниже, так и выше. Данное обстоятельство всегда следует учитывать, например выбирая конденсаторы для трехфазного асинхронного электродвигателя.
Фазное сетевой напряжение
Обмотки генератора соединены по схеме «звезда», и объединены концами X, Y и Z в одной точке (в центре звезды), которая называется нейтралью или нулевой точкой генератора. Это четырехпроводная трехфазная схема. К выводам обмоток A, B и C присоединяются линейные провода L1, L2 и L3, а к нулевой точке — нейтральный провод N.
Напряжения между выводом A и нулевой точкой, B и нулевой точкой, С и нулевой точкой, – называются фазными напряжениями, их обозначают Ua, Ub и Uc, ну а поскольку сеть симметрична, то можно просто написать Uф — фазное напряжение.
В трехфазных сетях переменного тока большинства стран стандартное фазное напряжение равно приблизительно 220 вольт — напряжение между фазным проводом и нейтральной точкой, которая обычно заземляется, и ее потенциал принимается равным нулю, потому она и называется еще нулевой точкой .
Линейное напряжение трехфазной сети
Напряжения между выводом A и выводом B, между выводом B и выводом C, между выводом C и выводом A, – называются линейными напряжениями, то есть это напряжения между линейными проводниками трехфазной сети. Их обозначают Uab, Ubc, Uca, или можно просто написать Uл.
Стандартное линейное напряжение в большинстве стран равно приблизительно 380 вольт. Легко заметить в данном случае, что 380 больше 220 в 1,727 раза, и, пренебрегая потерями, ясно, что это квадратный корень из 3, то есть 1,732. Безусловно, напряжение в сети все время в ту или другую сторону колеблется в зависимости от текущей загруженности сети, но соотношение между линейными и фазными напряжениями именно таково.
Откуда взялся корень из 3
В электротехнике часто применяют векторный метод изображения синусоидально изменяющихся во времени величин напряжений и токов.
График зависимости величины проекции от времени есть синусоида. И если амплитуда напряжения — это длина вектора U, то проекция, которая меняется со временем — это текущее значение напряжения, а синусоида отражает динамику напряжения.
Так вот, если теперь изобразить векторную диаграмму трехфазных напряжений, то получится, что между векторами трех фаз одинаковые углы по 120°, и тогда если длины векторов — это действующие значения фазных напряжений Uф, то чтобы найти линейные напряжения Uл, необходимо вычислить РАЗНОСТЬ любой пары векторов двух фазных напряжений. Например Ua – Ub.
Выполнив построение методом параллелограмма, увидим, что вектор Uл = Uа + (-Ub), и в результате Uл = 1,732Uф. Отсюда и получается, что если стандартные фазные напряжения равны 220 вольт, то соответствующие линейные будут равны 380 вольт.
