Вращение фигуры вокруг оси

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое тела и поверхности вращения?

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.

Вот самый простой пример: цилиндр.

Берем прямоугольник и начинаем вращать его вокруг одной из сторон.

Было Вращаем Стало

А теперь гораздо хитрее. Бывает так, что ось вращения находится далеко от фигуры, которая вращается.

Что получится? Бублик. А по научному ТОР.

Ну и так вот можно любую фигуру вертеть вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения.

Ну, а поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность это всегда граница тела.

Здесь мы рассмотрим подробно несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

Шар – тело вращения, полученное вращением полуокружности вокруг диаметра.

Было Вращаем Стало

Вообще-то есть и другое определение шара – через ГМТ (геометрическое место точек)

Шар – геометрическое место точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние, не более заданного.

Скажу тебе по секрету, что хоть второе определение и пугающее на вид, оно удобнее в обращении. Задумайся, ведь если тебя попросят сказать, что такое шар, ты скажешь что-то вроде

«ну …там есть центр и радиус…, подразумевая, что все точки внутри шара находятся я на расстоянии не большем, чем радиус.

Ну, в общем, шар он и есть шар.

Названия, которые ты должен знать:

Незнакомое тебе, наверное, только одно.

Диаметральное сечение шара – сечение, проходящее через центр. Это сечение иногда еще называют большим кругом.

• Любое сечение шара – круг.
• Граница шара называется сфера. (Так же, как граница круга – окружность.)

Площадь поверхности сферы

Откуда взялось? Умные математики придумали – это не так уж просто – придется просто запомнить.

Объём шара

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Если ты знаком с производной, то можешь заметить это

И это не случайно! Но почему это так вышло, мы тоже здесь обсуждать не будем – читай теорию для сильного уровня.

Цилиндр

Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

Вообще – то полное имя этого тела «прямой круговой цилиндр», но составители задач и мы вместе с ними по дружбе называем его просто цилиндром. Названия, относящиеся к цилиндру, такие:

Основания у цилиндра – это круги

Еще у цилиндра есть так называемая развертка.

Представь, что у нас от цилиндра осталась только боковая поверхность, и мы ее разрезали вдоль образующей и развернули.

Что получится? Представь себе, прямоугольник.

Развертка цилиндра – прямоугольник.

Площадь поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности

– высота, она же образующая.

Откуда взялась эта формула? Это как раз легко! Именно потому, что цилиндр можно развернуть, и получится прямоугольник .

Площадь этого прямоугольника и есть площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь прямоугольника, как мы хорошо помним равна произведению сторон, поэтому

Площадь полной поверхности цилиндра

Прибавляем теперь площадь двух кругов – оснований и получаем

Можно вынести (хотя и не обязательно) :

Но эту формулу неудобно запоминать!

Гораздо проще запомнить, что полная поверхность – сумма боковой поверхности и еще двух кругов – оснований, а боковая поверхность – прямоугольник. И тогда можно вообще не запоминать, ты всегда сам напишешь, что

Объём цилиндра

Это точно как у призмы и параллелепипеда

, только у призмы и параллелепипеда – это площадь многоугольника, а у цилиндра – это площадь круга.

Конус

Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Было Вращаем Стало

И опять же, полное название этого тела: «прямой круговой конус», но во всех задачах у нас говорится просто «конус».

Названия, относящиеся к конусу:

Что тут нужно твердо помнить?

• Основание корпуса – круг
• Все образующие конуса – равны.

Ясно ли это? Вроде должно быть ясно, ведь образующая – это гипотенуза (одна и та же!) Треугольника, который вращаем, а радиус основания – катет.

У конуса тоже есть развертка.

Снова представим, что основания нет, разрежем боковую поверхность вдоль образующей и развернём кулек. Что получится?

Представь себе сектор круга. Пусть длина образующей равна .

Развертка конуса – сектор круга радиуса

Площадь поверхности конуса:

Как найти площадь боковой поверхности корпуса? Вспомним о развертке, Ведь для цилиндра все было просто именно с помощью развертки.

По формуле площади сектора

Где – угол при вершине в радианах.

И это уже формула. В некоторых задачах бывает дан именно угол при вершине в развертке конуса. Но если все же даны только образующая и радиус основания? Как быть?

Нужно осознать, что же такое дуга в развертке? Это бывшая окружность основания! Поэтому длина этой дуги равна .

С другой стороны, длина этой же дуги равна , так как это дуга окружности радиуса . Поэтому

– радиус окружности основания,

Ну, и осталось площадь полной поверхности конуса. Прибавим к боковой поверхности площадь круга основания, и получаем

Но, как и для цилиндра, не надо запоминать вторую формулу, гораздо проще всегда пользоваться первой.

Объём конуса

Это так же, как у пирамиды

– это не площадь многоугольника, а площадь круга.

А вот откуда взялась ?, по-прежнему остается загадкой, потому что эта получена в результате довольно хитрых рассуждений умных математиков. А тебе нужно очень твердо запомнить, что в формулах объёма «треугольных» фигур: конуса и пирамиды эта и есть, а в формулах параллелепипеда, призмы и цилиндра ее нет!

ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.

Было Вращаем Стало

Поверхность вращения – это граница тела вращения.

В подробной теории, мы рассмотрим несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это – не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте – нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник "YouClever" (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки "100gia".

Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Добрый день, господа!

Не могу разобраться в следующем вопросе — как вращать картинку (спрайт) вокруг своего центра?

Обычное вращение вращает его за левый верхний угол.

Единственный выход из ситуации — корректировать X и Y координаты в соответствии с углом так, чтобы центр спрайта не смещался из-за вращения.

Вопрос не по конкретному языку, а по программированию и математике в общем. То есть интересует как же корректировать X и Y?

Для того, чтобы найти объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ox нужно вычислить определенный интеграл от квадрата функции, задающей график и умножить на число Пи.

$$ V = pi int_a^b y^2 dx $$

В формуле $ a $ и $ b $ значения отложены по оси Ox. Фукция $ y (x) $ задаёт график фигуры, объем вращения которой необходимо вычислить.

1. Строим график фигуры
2. Вычисляем определенный интеграл

Пример 1

Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox: $ y = x^2 $ и $ a = 2, b = 3 $

Решение

Выполняем построение графика. Чертим на плоскости параболу $ y = x^2 $. Выставляем на чертеже оранжевые линии, соответствующие ограничениям $ a = 2, b = 3 $. Закрашиваемая область желтым цветом выделяет фигуру, объем вращения которой будем искать.

Подставляем в формулу функцию $ y = x^2 $ и пределы интегрирования. Вычисляем определенный интеграл $$ V = pi int_2^3 (x^2)^2 dx = pi int_2^3 x^4 dx = $$

Для взятия интеграла воспользуемся формулой $ int x^p dx = frac> $

$$ = pi frac <5>igg |_2^3 = pi frac<243> <5>- pi frac<32> <5>= frac<211> <5>pi = 132.5 $$

Получили объем фигуры $ V = 132.5 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$ V = 132.5 $$

В данном примере необходимо найти точки пересечения двух графиков функций. Приравниваем их друг к другу и решаем уравнение относительно одной переменной $ x $: $$ x^2 = x^3 $$ Переносим всё в одну строну $$ x^3 – x^2 = 0 $$ Выносим за скобку неизвестную $ x^2 $ и получаем корни уравнения: $$ x^2(x-1) = 0 $$ $$ x^2 = 0, x-1=0 $$ $$ x_1=0, x_2=1 $$

Выполняем построение графиков функций для наглядности. На рисунке закрашиваем область, ограниченную двумя функциями.

Для того, чтобы найти объем тела вращения, заданного с помощью двух функций, необходимо воспользоваться идеей разности объемов. А имеенно, находим сначала объем фигуры вращения, заданной функцией $ y = x^2 $, затем отдельно $ y = x^3 $.

$$ V_1 = pi int_0^1 x^2 dx = pi frac <3>igg |_0^1 = frac<pi> <3>$$

$$ V_2 = pi int_0^1 x^3 dx = pi frac <4>igg |_0^1 = frac<pi> <4>$$

Получаем искомый объем с помощью разности объемов $$ V = V_1 – V_2 = frac<pi> <3>- frac<pi> <4>= frac<pi> <12>$$

Пример 2

Найти объем тела вращения фигуры вокруг оси Ox, заданной двумя функциями $$ y = x^2, y = x^3 $$

Решение