Вычисли множество значений функции

Зачастую в рамках решения задач нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, это нужно делать при решении разных типов неравенств, оценках выражений и др.

В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми ее можно вычислить, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графиками. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление об области значений функции.

Начнем с базовых определений.

Множество значений функции y = f ( x ) на некотором интервале x представляет собой множество всех значений, которые данная функция принимает при переборе всех значений x ∈ X .

Область значений функции y = f ( x ) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x ∈ ( f ) .

Область значений некоторой функции принято обозначать E ( f ) .

Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.

Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y = f ( x ) . Область допустимых значений x для выражения f ( x ) и будет областью определения данной функции.

Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.

Очевидно, что область значений функции можно получить при проецировании графика функции на ось O y . При этом она может представлять собой как одно число, так и множество чисел, отрезок, интервал, открытый луч, объединение числовых промежутков и др.

Рассмотрим основные способы нахождения области значений функции.

Начнем с определения множества значений непрерывной функции y = f ( x ) на некотором отрезке, обозначенном [ a ; b ] . Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего m a x x ∈ a ; b f ( x ) и наименьшего значения m i n x ∈ a ; b f ( x ) . Значит, у нас получится отрезок m i n x ∈ a ; b f ( x ) ; m a x x ∈ a ; b f ( x ) , в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.

Условие: найдите область значений y = a r c sin x .

Решение

В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [ – 1 ; 1 ] . Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.

y ‘ = a r c sin x ‘ = 1 1 – x 2

Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x , расположенных в интервале [ – 1 ; 1 ] , то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x , равном – 1 , а самое большое – при x , равном 1 .

m i n x ∈ – 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin – 1 = – π 2 m a x x ∈ – 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E ( a r c sin x ) = – π 2 ; π 2 .

Ответ: E ( a r c sin x ) = – π 2 ; π 2

Условие: вычислите область значений y = x 4 – 5 x 3 + 6 x 2 на заданном отрезке [ 1 ; 4 ] .

Решение

Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.

Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:

y ‘ = x 4 – 5 x 3 + 6 x 2 ‘ = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 – 15 x + 12 y ‘ = 0 ⇔ x ( 4 x 2 – 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ; 4 и л и 4 x 2 – 15 x + 12 = 0 D = – 15 2 – 4 · 4 · 12 = 33 x 2 = 15 – 33 8 ≈ 1 . 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 . 59 ∈ 1 ; 4

Теперь найдем значения заданной функции в концах отрезка и точках x 2 = 15 – 33 8 ; x 3 = 15 + 33 8 :

y ( 1 ) = 1 4 – 5 · 1 3 + 6 · 1 2 = 2 y 15 – 33 8 = 15 – 33 8 4 – 5 · 15 – 33 8 3 + 6 · 15 – 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 – 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 – 165 33 512 ≈ – 1 . 62 y ( 4 ) = 4 4 – 5 · 4 3 + 6 · 4 2 = 32

Значит, множество значений функции будет определяться отрезком 117 – 165 33 512 ; 32 .

Ответ: 117 – 165 33 512 ; 32 .

Перейдем к нахождению множества значений непрерывной функции y = f ( x ) в промежутках ( a ; b ) , причем a ; + ∞ , – ∞ ; b , – ∞ ; + ∞ .

Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведении функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.

Условие: вычислите область значений функции y = 1 x 2 – 4 на интервале ( – 2 ; 2 ) .

Решение

Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке

y ‘ = 1 x 2 – 4 ‘ = – 2 x ( x 2 – 4 ) 2 y ‘ = 0 ⇔ – 2 x ( x 2 – 4 ) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ ( – 2 ; 2 )

У нас получилось максимальное значение, равное 0 , поскольку именно в этой точке происходит перемена знака функции и график переходит к убыванию. См. на иллюстрацию:

То есть y ( 0 ) = 1 0 2 – 4 = – 1 4 будет максимальным значений функции.

Теперь определим поведение функции при таком x, который стремится к – 2 с правой стороны и к + 2 с левой стороны. Иными словами, найдем односторонние пределы:

lim x → – 2 + 0 1 x 2 – 4 = lim x → – 2 + 0 1 ( x – 2 ) ( x + 2 ) = = 1 – 2 + 0 – 2 – 2 + 0 + 2 = – 1 4 · 1 + 0 = – ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 – 4 = lim x → 2 + 0 1 ( x – 2 ) ( x + 2 ) = = 1 2 – 0 – 2 2 – 0 + 2 = 1 4 · 1 – 0 = – ∞

У нас получилось, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до – 1 4 тогда, когда аргумент изменяется в пределах от – 2 до 0 . А когда аргумент меняется от 0 до 2 , значения функции убывают к минус бесконечности. Следовательно, множеством значений заданной функции на нужном нам интервале будет ( – ∞ ; – 1 4 ] .

Ответ: ( – ∞ ; – 1 4 ] .

Условие: укажите множество значений y = t g x на заданном интервале – π 2 ; π 2 .

Решение

Нам известно, что в общем случае производная тангенса в – π 2 ; π 2 будет положительной, то есть функция будет возрастать. Теперь определим, как ведет себя функция в заданных границах:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g – π 2 + 0 = – ∞ lim x → π 2 – 0 t g x = t g π 2 – 0 = + ∞

Мы получили рост значений функции от минус бесконечности к плюс бесконечности при изменении аргумента от – π 2 до π 2 ,и можно сказать, что множеством решений данной функции будет множество всех действительных чисел.

Ответ: – ∞ ; + ∞ .

Условие: определите, какова область значений функции натурального логарифма y = ln x .

Решение

Нам известно, что данная функция является определенной при положительных значениях аргумента D ( y ) = 0 ; + ∞ . Производная на заданном интервале будет положительной: y ‘ = ln x ‘ = 1 x . Значит, на нем происходит возрастание функции. Далее нам нужно определить односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к 0 (в правой части), и когда x стремится к бесконечности:

lim x → 0 + 0 ln x = ln ( 0 + 0 ) = – ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.

Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.

Условие: определите, какова область значений функции y = 9 x 2 + 1 .

Решение

Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:

y ‘ = 9 x 2 + 1 ‘ = – 18 x ( x 2 + 1 ) 2 y ‘ = 0 ⇔ x = 0 y ‘ ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y ‘ ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

В итоге мы определили, что данная функция будет убывать, если x ≥ 0 ; возрастать, если x ≤ 0 ; она имеет точку максимума y ( 0 ) = 9 0 2 + 1 = 9 при переменной, равной 0 .

Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:

lim x → – ∞ 9 x 2 + 1 = 9 – ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0

Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.

Подведем итоги: когда аргумент изменяется от минус бесконечности до нуля, то значения функции возрастают от 0 до 9 . Когда значения аргумента меняются от 0 до плюс бесконечности, соответствующие значения функции будут убывать от 9 до 0 . Мы отобразили это на рисунке:

На нем видно, что областью значений функции будет интервал E ( y ) = ( 0 ; 9 ]

Ответ: E ( y ) = ( 0 ; 9 ]

Если нам надо определить множество значений функции y = f ( x ) на промежутках [ a ; b ) , ( a ; b ] , [ a ; + ∞ ) , ( – ∞ ; b ] , то нам понадобится провести точно такие же исследования. Эти случаи мы пока не будем разбирать: далее они нам еще встретятся в задачах.

А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.

Условие: определите, какова будет область значений y = x x – 2 .

Решение

Поскольку знаменатель функции не должен быть обращен в 0 , то D ( y ) = – ∞ ; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Начнем с определения множества значений функции на первом отрезке – ∞ ; 2 , который представляет из себя открытый луч. Мы знаем, что функция на нем будет убывать, то есть производная данной функции будет отрицательной.

lim x → 2 – 0 x x – 2 = 2 – 0 2 – 0 – 2 = 2 – 0 = – ∞ lim x → – ∞ x x – 2 = lim x → – ∞ x – 2 + 2 x – 2 = lim x → – ∞ 1 + 2 x – 2 = 1 + 2 – ∞ – 2 = 1 – 0

Тогда в тех случаях, когда аргумент изменяется по направлению к минус бесконечности, значения функции будут асимптотически приближаться к 1 . Если же значения x меняются от минус бесконечности до 2 , то значения будут убывать от 1 до минус бесконечности, т.е. функция на этом отрезке примет значения из интервала – ∞ ; 1 . Единицу мы исключаем из наших рассуждений, поскольку значения функции ее не достигают, а лишь асимптотически приближаются к ней.

Для открытого луча 2 ; + ∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:

lim x → 2 + 0 x x – 2 = 2 + 0 2 + 0 – 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x – 2 = lim x → + ∞ x – 2 + 2 x – 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x – 2 = 1 + 2 + ∞ – 2 = 1 + 0

Значения функции на данном отрезке определяются множеством 1 ; + ∞ . Значит, нужная нам область значений функции, заданной в условии, будет объединением множеств – ∞ ; 1 и 1 ; + ∞ .

Ответ: E ( y ) = – ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

Это можно увидеть на графике:

Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.

Условие: определите область значений синуса y = sin x .

Решение

Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0 ; 2 π и смотрим, каким будет множество значений на нем.

y ‘ = ( sin x ) ‘ = cos x y ‘ = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

В рамках 0 ; 2 π у функции будут точки экстремума π 2 и x = 3 π 2 . Подсчитаем, чему будут равны значения функции в них, а также на границах отрезка, после чего выберем самое большое и самое маленькое значение.

y ( 0 ) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = – 1 y ( 2 π ) = sin ( 2 π ) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = – 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin π 2 = 1

Ответ: E ( sin x ) = – 1 ; 1 .

Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения. Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.

Условие: определите область значения y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 – 4 .

Решение

Нам известно, что отрезок от 0 до пи есть область значений арккосинуса. Иными словами, E ( a r c cos x ) = 0 ; π или 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Мы можем получить функцию a r c cos x 3 + 5 π 7 из арккосинуса, сдвинув и растянув ее вдоль оси O x , но такие преобразования нам ничего не дадут. Значит, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Функция 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 может быть получена из арккосинуса a r c cos x 3 + 5 π 7 с помощью растяжения вдоль оси ординат, т.е. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Финалом преобразований является сдвиг вдоль оси O y на 4 значения. В итоге получаем двойное неравенство:

0 – 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 – 4 ≤ 3 π – 4 ⇔ – 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 – 4 ≤ 3 π – 4

Мы получили, что нужная нам область значений будет равна E ( y ) = – 4 ; 3 π – 4 .

Ответ: E ( y ) = – 4 ; 3 π – 4 .

Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.

Условие: вычислите, какова будет область значений функции y = 2 2 x – 1 + 3 .

Решение

Перепишем функцию, заданную в условии, как y = 2 · ( 2 x – 1 ) – 1 2 + 3 . Для степенной функции y = x – 1 2 область значений будет определена на промежутке 0 ; + ∞ , т.е. x – 1 2 > 0 . В таком случае:

2 x – 1 – 1 2 > 0 ⇒ 2 · ( 2 x – 1 ) – 1 2 > 0 ⇒ 2 · ( 2 x – 1 ) – 1 2 + 3 > 3

Значит, E ( y ) = 3 ; + ∞ .

Ответ: E ( y ) = 3 ; + ∞ .

Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.

Условие: дана функция y = 2 sin x 2 – 4 , x ≤ – 3 – 1 , – 3 x ≤ 3 1 x – 3 , x > 3 . Вычислите область ее значений.

Решение

Данная функция является определенной для всех значений x . Проведем ее анализ на непрерывность при значениях аргумента, равных – 3 и 3 :

lim x → – 3 – 0 f ( x ) = lim x → – 3 2 sin x 2 – 4 = 2 sin – 3 2 – 4 = – 2 sin 3 2 – 4 lim x → – 3 + 0 f ( x ) = lim x → – 3 ( 1 ) = – 1 ⇒ lim x → – 3 – 0 f ( x ) ≠ lim x → – 3 + 0 f ( x )

Имеем неустранимый разрыв первого рода при значении аргумента – 3 . При приближении к нему значения функции стремятся к – 2 sin 3 2 – 4 , а при стремлении x к – 3 с правой стороны значения будут стремиться к – 1 .

lim x → 3 – 0 f ( x ) = lim x → 3 – 0 ( – 1 ) = 1 lim x → 3 + 0 f ( x ) = lim x → 3 + 0 1 x – 3 = + ∞

Имеем неустранимый разрыв второго рода в точке 3 . Когда функция стремится к нему, ее значения приближаются к – 1 , при стремлении к той же точке справа – к минус бесконечности.

Значит, вся область определения данной функции является разбитой на 3 интервала ( – ∞ ; – 3 ] , ( – 3 ; 3 ] , ( 3 ; + ∞ ) .

На первом из них у нас получилась функция y = 2 sin x 2 – 4 . Поскольку – 1 ≤ sin x ≤ 1 , получаем:

– 1 ≤ sin x 2 1 ⇒ – 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ – 6 ≤ 2 sin x 2 – 4 ≤ – 2

Значит, на данном промежутке ( – ∞ ; – 3 ] множество значении функции – [ – 6 ; 2 ] .

На полуинтервале ( – 3 ; 3 ] получилась постоянная функция y = – 1 . Следовательно, все множество ее значений в данном случае будет сводится к одному числу – 1 .

На втором промежутке 3 ; + ∞ у нас есть функция y = 1 x – 3 . Она является убывающей, потому что y ‘ = – 1 ( x – 3 ) 2 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x – 3 = 1 3 + 0 – 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x – 3 = 1 + ∞ – 3 = 1 + ∞ + 0

Значит, множество значений исходной функции при x > 3 представляет собой множество 0 ; + ∞ . Теперь объединим полученные результаты: E ( y ) = – 6 ; – 2 ∪ – 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Ответ: E ( y ) = – 6 ; – 2 ∪ – 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Решение показано на графике:

Условие: есть функция y = x 2 – 3 e x . Определите множество ее значений.

Решение

Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:

y ‘ = x 2 – 3 e x ‘ = 2 x e x – e x ( x 2 – 3 ) e 2 x = – x 2 + 2 x + 3 e x = – ( x + 1 ) ( x – 3 ) e x

Мы знаем, что производная обратится в 0 , если x = – 1 и x = 3 . Поместим эти две точки на ось и выясним, какие знаки будет иметь производная на получившихся интервалах.

Функция будет убывать на ( – ∞ ; – 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ) и возрастать на [ – 1 ; 3 ] . Точкой минимума будет – 1 , максимума – 3 .

Теперь найдем соответствующие значения функции:

y ( – 1 ) = – 1 2 – 3 e – 1 = – 2 e y ( 3 ) = 3 2 – 3 e 3 = 6 e – 3

Посмотрим на поведение функции на бесконечности:

lim x → – ∞ x 2 – 3 e x = – ∞ 2 – 3 e – ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 – 3 e x = + ∞ 2 – 3 e + ∞ = " open=" + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 – 3 ‘ e x ‘ = lim x → + ∞ 2 x e x = " open=" + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x ‘ ( e x ) ‘ = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 · 1 + ∞ = + 0

Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.

На нем видно, что значения функции будут убывать от плюс бесконечности до – 2 e тогда, когда аргумент меняется от минус бесконечности до – 1 . Если же он изменяется от 3 до плюс бесконечности, то значения будут убывать от 6 e – 3 до 0 , но при этом 0 достигнут не будет.

Таким образом, E ( y ) = [ – 2 e ; + ∞ ) .

Ответ: E ( y ) = [ – 2 e ; + ∞ )

1. Метод оценки (границ).

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, затем, используя свойства неравенств, отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Если есть возможность путем тождественных преобразований получить функцию, которая на всей области определения или на заранее заданном множестве является непрерывной и либо только возрастающей либо только убывающей, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.

Пример 1. Найдите множество значений функци y=5 –.

Из определения квадратного корня следует, что 4 – xzbr.gif" /> 0, решая квадратичное неравенство получаем, что -2x2. разобьем промежуток [-2; 2] на два промежутка [-2; 0] и (0; 2]. Первому промежутку соответствует неравенство -2x0, а второму соответствует 0 2 4.
Умножим все три части неравенства на – 1, получим неравенство

– 4– x 2 0.
Прибавим к трем частям неравенства 4 и получим

0 4 – x 2 4.
Введем вспомогательную переменную предположив, что

t = 4 – x 2 , где 0 t4.

Функция y =на указанном промежутке непрерывна и возрастает, поэтому свои наименьшее и наибольшее значения принимает на концах промежутка и, следовательно, 0 2 тогда произведя обратную замену переменных получим неравенство 0 2. Прибавим к трем частя последнего двойного неравенств 5, умножив его предварительно на – 1, получим 3 5 – 5.

Множество значений функции y = 5 –является множество [3; 5].

Пример 2. Найти множество значений функции y = 5 – 4sinx.

Из определения синуса следует, -1sinx1. Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

-4– 4sinx4, (умножили все три части двойного неравенства на -4);

15 – 4sinx9 (прибавили к трем частям двойного неравенства 5);

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют. В данном случаее множество значений функции y =5 – 4sinxесть множество [1; 9].

Пример 3. Найти множество значений функции y = sinx + cos x.

Преобразуем выражение sinx + cos x = sinx +sin(– x) =
= 2sin((x +– x)/2)cos((x ++ x)/2) = 2sin<)cos(x +) =
=cos(x +).

Из определения косинуса следует -1cosx1;

-1cos(x +>1;

–cos( x +);

Так какданная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции y =cos(x +) есть множество [-;]. Множество значений функции

y = sinx + cosx есть множество чисел [-;].

Пример 4. Найти множество значений функции y = 3sinx + 7cos x.

Преобразуем выражение 3sinx + 7cos x. Заметим, что 3 2 + 7 2 = 9 + 49 = 58 =Умножим и разделим каждое слагаемое на
3sinx + 7cos x =(sinx +cosx).
Так как 2 + () 2 = 1, то найдется такое числочто cos=и sin=. Тогда 3sinx + 7cos x =(cossinx + sincosx) =sin(+ x).

Из определения синуса следует, что при любом х справедливо неравенство -1sinx1 и, из периодичности этой функции, следует, что

-1 sin(+ x) 1, тогда умножая все части двойного неравенства на, имеем –sin(+ x).

Множество значений функции y = 3sinx + 7cos xявляется множество [ –;].

2. Метод применения свойств непрерывной функции.

Среди числовых значений, принимаемых на заданном отрезке непрерывной функцией, всегда имеется как наименьшее pначение m, так и наибольшее значение М. Множество значений функции заключено между числами m и M. Это основные утверждения положенны в основу поиска множества значений функции в следующем примере.

Пример 5. Найти множество значений функции y = 2sinx + cos2x на отрезке [0; p ].

D(y) = R. Данная функция на всей области определения непрерывна, поэтому на отрезке [0; p ] существуют такие точки, в которых функция принимает свои наименьше и наибольшее значения. Эти точки либо критические, либо концы отрезка.

1) найдем производную данной функции

2) y’ = 2cosx – 2 sin2x = 2cosx – 4sinxcosx = 2cosx(1 – 2sinx)

3) Область определения производной R.

3) Найдем ее критические точки. y’ = 0. 2cosx(1 – sinx) = 0, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
cosx = 0 и 1 – 2sinx = 0.
Решая каждое из них получим:
x =+n, где nZи x = (-1) n +k, где kZ.

Отрезку [0;] принадлежат три критические точки: x =, x =, x =.

Вычисляем значение функции на концах промежутка и в критических точках:
y(0) = 1, y() = 1, y() = 1,5, y( ) = 1,5, следовательно, наименьшее значение функции на отрезке[0;] равно 1, а наибольшее значение функции на этом же отрезке равно 1,5. Исходя из выше изложенный утверждений Е(у) = [1; 1,5].

3. Метод приведения к уравнению относительно х с параметром у.

Возможна следующая схема применения этого метода:

Пусть функция задана формулой y = f(x).

2) Рассматриваем функцию как уравнение с параметром у.

3) Выясняем при каких значениях у уравнение f(x) – y = 0 имеет хотя бы один корень. Полученное множество будет множеством значений заданной функции.

Пример 6. найдите множество значений функции.

x 2 + 5 > 0 при любом х, следовательно, D(y) = R. Рассматриваем формулу:

, как уравнение с параметром у. Это уравнение равносильно уравнению y(x 2 + 5) = x 2 – 4x + 4;

x 2 (y – 1) + 4x + 5y + 1 = 0;

1) Если у = 1, то данное уравнение равносильно линейному уравнению 4х + 6 = 0, которое имеет один корень.

Если у1, то квадратное уравнение, которое мы получили в результате выше изложенных соображений, имеет корни тогда и только тогда, когда его дискриминант не отрицателен.

D/4 = 4 – (y – 1)(5y + 1)0;

– 5y 2 + 4y +50;

5y 2 – 4y – 50; Вычислим четверть дискриминанта и корни квадратного трехчлена 5y 2 – 4y -5:

y = 2 –и y = 2 + .

Таким образом квадратное уравнение имеет корни,если параметр y[2-; 1) и (1; 2 +],

Учитывая пункты 1) и 2), делаем вывод, что множество значений изучаемой функции – [2 – ; 2 + ].

4. Метод непосредственных вычислений.

В случае, когда область определения функции содержит конечное число значений аргумента или количество значений не велико, или множество значений аргумента может быть описано с помощью конечного числа формул, так бывает в случае рассмотрения тригонометрических функций, обычно множество значений функции находят путем непосредственных вычислений.

Пример 7. Укажите множество значений функции y = 11 –.

Найдем область определения данной функции. Так как в формуле задающей функцию есть квадратный корень, то согласно определению квадратного корня потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

10х – х 2 -250;

-(х – 5) 2 0;

(х – 5) 2 0; Откудах = 5. Таким образом область определения данной функции состоит из одного числа, следовательно, множество значений функции состоит из одного числа и Е(у) = <11>.

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Математика:

Контакты

Содержание

Обозначения

Способы нахождения областей значений функций.

Рассмотрим некоторые из них.

Используя производную

Общий подход к нахождению множества значений непрерывной функции f(x) заключается в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции f(x) в области ее определения (или в доказательстве того, что одно из них или оба не существуют).

В случае, если нужно найти множества значений функции на отрезке:

Если областью определения функции является интервал, то используется та же схема, но вместо значений на концах используются пределы функции при стремлении аргумента к концам интервала. Значения пределов из не входят в множество значений.

Метод границ/оценок

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, а затем отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Используя неравенства – определяют границы.

Суть состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.

Свойства непрерывной функции

Другой вариант заключается в преобразовании функции в непрерывную монотонную, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.

Последовательное нахождение значений сложных аргументов функции

Основан на последовательном отыскании множества значений промежуточных функций, из которых составлена функция

Области значений основных элементарных функций

Функция	Множество значений
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^<2n>$	E(y) = [0;+∞)
$y = x^<2n +1>$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = k/x$	E(y) = (-∞;0)u(0;+∞)
$y = x^<frac<1><2n>>$	E(y) = [0;+∞)
$y = x^<frac<1><2n+1>>$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = a^$	E(y) = (0;+∞)
$y = log_$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = sin$	E(y) = [-1;1]
$y = cos$	E(y) = [-1;1]
$y = < m tg>, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = < m ctg>, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = arcsin$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = arccos$	E(y) = [0; π]
$y = < m arctg>, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = < m arcctg>, x$	E(y) = (0; π)

Примеры

Найдите множество значений функции:

Используя производную

Находим область определения: D(f)=[-3;3], т.к. $9-x^<2>geq 0$

f'(x) = 0, если x = 0. f'(x) не существует, если $sqrt<9-x^<2>>=0$ то есть при x = ±3. Получаем три критические точки: x₁ = –3, x₂ = 0, x₃ = 3, две из которых совпадают с концами отрезка. Вычислим: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Таким образом, наименьшее значение f(x) равно 0, наибольшее значение равно 3.

НЕ используя производную

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

Если решать эту задачу с помощью производных, то потребуется преодолевать препятствия, связанные с тем, что функция f(x) определена не на отрезке, а на всей числовой прямой.

Используя метод границ/оценок

Из определения синуса следует, $-1leqsinleq 1$. Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

$-4leq – 4sinleq 4$, (умножили все три части двойного неравенства на -4);

$1leq 5 – 4sinleq 9$ (прибавили к трем частям двойного неравенства 5);

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют.

В данном случае множество значений функции $y = 5 – 4sin$ есть множество [1; 9].

Из неравенств $$ \ -1leqcos<7x>leq 1 \ -5leq 5cosleq 5 $$ получим оценку $$\ -6leq yleq 6$$

При x = р и x = 0 функция принимает значения -6 и 6, т.е. достигает нижней и верхней границы оценки. Как линейная комбинация непрерывных функций cos(7x) и cos(x), функция y непрерывна на всей числовой оси, поэтому по свойству непрерывной функции она принимает все значения с -6 до 6 включительно, и только их, так как в силу неравенств $-6leq yleq 6$ другие значения у неё невозможны.

Следовательно, E(y) = [-6;6].

$$ \ -1leqsinleq 1 \ 0leqsin^<2>leq 1 \ 0leq2sin^<2>leq 2 \ 1leq1+2sin^<2>leq 3 $$ Ответ: E(f) = [1; 3].

$$ \ -infty 2 (x): $$\ f^<2>(x)=4+2sqrt<4-x^<2>>$$ Проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим, что E(f 2 ) = [4; 8].

Тогда $E(f) = [2;2sqrt<2>]$ (здесь учтено, что f > 0).

Преобразуем выражение $$ \ sin + cos = sin + sin(frac<pi> <2>- x) = \ 2sinleft (<frac <2>- x><2>>
ight )cosleft (<frac <2>+ x><2>>
ight ) \ = 2sin(frac<pi><4>)cos(x +frac<pi><4>) = sqrt<2>cos(x +frac<pi><4>) $$.

Из определения косинуса следует $$ \ -1leqcosleq 1; \ -1leq cos<(x + frac<pi><4>)>leq 1; \ -sqrt<2>leq sqrt<2>cos<(x +frac<pi><4>)>leqsqrt<2>; $$

Так какданная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции $y =sqrt<2>cos(<4>>)$ есть множество $[-sqrt<2>;sqrt<2>]$.

Множество значений функции $y = sin + cos$ есть множество чисел $[-sqrt<2>;sqrt<2>]$.

Используя непрерывную функцию

Найдем область определения данной функции. $$ \ 10х – х^ <2>-25geq 0; \ -(х – 5)^<2>geq 0; \ (х – 5)^<2>geq 0; $$ Откуда х = 5. Таким образом область определения данной функции состоит из одного числа, следовательно, множество значений функции состоит из одного числа и Е(у) = <11>.

Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию

И последовательно найдём множества значений её сложных аргументов:

Обозначим $t = 5 – (3^+1)^<2>$, где -∞≤t≤4. Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции $y = log_<0,5>$ на луче (-∞;4). Так как функция $y = log_<0,5>$ определена лишь при t > 0 , то её множество значений на луче (-∞;4) совпадает со множеством значений функции на интервале (0;4), представляющем собой пересечение луча (-∞;4) с областью определения (0;+∞) логарифмической функции. На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. При t > 0 она стремится к +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому E(y) = (-2, +∞).

Используем прием, основанный на графическом изображении функции.

После преобразований функции, имеем: y 2 + x 2 = 25, причем y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Следует напомнить, что $x^<2>+y^<2>=r^<2>$ – уравнение окружности радиуса r.

При этих ограничениях графиком данного уравнения является верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5. Очевидно, что E(y) = [0; 5].